Кручение с растяжением расчеты на прочность
Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).
Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.
В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.
Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:
где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:
Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.
Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.
В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:
Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.
На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:
где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:
Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:
То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:
Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.
Расчеты на прочность при изгибе
Источник
Расчеты на прочность при кручении проводятся по допускаемым напряжениям на основе следующего условия прочности:
. (2.34)
Здесь — наибольшее расчетное касательное напряжение в опасном сечении вала.
Если сечения по длине вала не меняются, то опасными будут сечения на участке вала, где крутящий момент Мк максимален (определяется по эпюре Мк).
Для вала с различными сечениями по длине кроме эпюры крутящих моментов, вдоль оси строится эпюра наибольших напряжений, по которой определяется опасное сечение.
Wк – момент сопротивления сечения при кручении.
Для круглого и кольцевого сечений :
Wk = Wp – полярный момент сопротивления (см.2.15; 2.17).
Допускаемое напряжение при кручении ориентировочно принимают:
для сталей [ ,
для чугунов ,
где — допускаемое напряжение при растяжении.
Условие прочности позволяет решать три типа задач:
1. По известным внешним скручивающим моментам и размерам вала проверяется его прочность, делается поверочный расчет на прочность;
2. Подбор сечений (проектировочный расчет). Расчет ведется по формуле, получаемой из условия прочности (2.34):
. (2.35)
3. Определение грузоподьемности (определение допускаемых крутящих моментов). Расчетная формула имеет вид:
. (2.36)
При расчете на жесткость вала ограничение может быть наложено на величину относительного угла закручивания или полного угла закручивания .
В соответствии с этими требованиями, условие жесткости может быть записано в виде:
, (2.37)
или . (2.38) Здесь и — максимальные относительный и полный углы закручивания, для определения этих значений в сложных случаях необходимо строить эпюры или ;
G – модуль сдвига;
Jк – момент инерции сечения вала при кручении (см. параграфы 2.3 и 2.4).
Для круглого и кольцевого сечений:
JК = Jр ,
где Jр – полярный момент инерции (см.формулы 2.14 и 2.16);
и — допускаемые значения относительного и полного углов заручивания..
Расчет на жесткость так же как и расчет на прочность может быть в зависимости от условий задачи поверочным, проектировочным или по определению грузоподьемности вала.
Пример 2.1.Стальной вал круглого поперечного сечения передает крутящий момент Мк = 20 кНм. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение допускаемый относительный угол закручивания на один метр длины вала.
Решение.
Из условия прочности вала
находим полярный момент сопротивления
.
Полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле: ,
отсюда находим
Из условия жесткости вала: ,
где
– полярный момент инерции сечения вала;
G = 0,8 1011 Па – модуль сдвига стали,
;
находим
= ,
.
Из двух найденных значений диаметра вала выбираем большее, т.е. d = 13см.
Ответ: .
Пример 2.2. Стальной вал передает мощность N = 50 кВт при частоте вращения n=200 об/мин. Подобрать сечение вала для случая сплошного сечения и кольцевого с отношением диаметров:
α= d / D = 0.8,
где d и D – внутренний и наружный диаметр сечения, если допускаемое напряжение [ ] = 80 мПа.
Решение.
Найдем крутящий момент передаваемый валом ,
где — угловая скорость вала.
Крутящий момент равен
Из условия прочности
найдем полярный момент сопротивления сечения вала .
Для сплошного круглого сечения
, отсюда
Для кольцевого сечения
отсюда = 6,4 см,
.
Сравним площади сплошного и кольцевого сечений, что определяет расход металла:
для сплошного сечения
для кольцевого сечения .
Таким образом, применение кольцевого сечения с отношением диаметров d/D= 0,8 вместо сплошного дает экономию металла примерно в два раза.
Пример 2.3. Стальной составной брус нагружен сосредоточенными скручивающими моментами (рис.2.16). Определить из расчетов на прочность и жесткость допустимые значения моментов М.
Принять а = 0,5м, b = 10см, d =5 см.
Модуль сдвига G=0.8 1011 Па, допускаемое напряжение [ ] = 90 МПа,
допускаемый относительный угол закручивания
[ ] = 0,01 рад/м.
Рис.2.16
Решение.
Решение задачи начинаем с определения внутренних силовых факторов (крутящих моментов). Заметим, что в данном случае для определения крутящего момента в сечении проще рассматривать часть бруса справа от сечения, что позволяет не определять реактивный момент в заделке.
В соответствии с правилом, изложенным в параграфе 2.1 находим:
в сечении 1-1 М1к =М,
в сечении 2-2 М2к = 2М.
Эпюра Мк построенная по полученным данным, показана на рис.2.16, б.
Выразим касательные напряжения через Мк.
Первый участок: ,
где Wp – полярный момент сопротивления.
Для круглого сечения на этом участке:
.
Второй участок:
где Wк – момент сопротивления сечения при кручении.
Для квадратного сечения:
Wк = 0,208 b3 = 0,208 103 см3 = 2,08 10-4 м3.
Подставив значения Wp и Wк в выражения для на первом и втором участках получим:
на 1-м участке = 4,08 104 М( Па),
на 2-м участке (Па).
Как видно из сравнения полученных результатов, опасными являются сечения на 1-ом участке, где касательные напряжения максимальны.
Условие прочности для этих сечений имеет вид:
.
Из условия прочности находим допустимое значение момента М :
.
Проведем расчет на жесткость.
Относительный угол закручивания на 1-м участке :
,
где Jp – полярный момент сечения
,
,
на 2-ом участке
,
где Jк — момент инерции сечения при кручении, который для квадратного сечения равен
Jк = 0,141 b4 = 0,141 104 см4 = 0,141 10-4 м4,
Таким образом, max = 1 = 0.2 10-4
Условие жесткости имеет вид
.
Из условия жесткости находим:
.
Из двух значений М, полученных из расчета на прочность и из расчета на жесткость, принимаем меньшее значение, т.е.
[М] = 0,5 кН м.
Источник
Сопротивление материалов
Деформация кручения
Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее касательное напряжение, возникающее в нем, не должно превышать предельно допустимое. При этом расчетная формула на прочность имеет вид:
τmax = Мкр / Wr≤ [τкр],
где [τкр] — предельное допускаемое напряжение.
При практических расчетах, определяя предельные допускаемые напряжения для различных материалов, используют зависимость между напряжениями при растяжении и напряжениями при кручении, которая для стали и чугуна имеет вид:
для стали — [τкр] = 0,55….0,6 [σр]
для чугуна — [τкр] = 1,0….1,2 [σр])
(здесь [σр] — справочная или определяемая экспериментально величина, (предельное допустимое напряжение растяжения) характеризующая материал бруса (вала).
Кроме требования прочности к валам предъявляются требования жесткости, которое заключается в том, что угол закручивания участка вала длиной 1 м не должен превышать предельной величины, определяемой требованиями конструкции.
Допускаемый угол закручивания 1 м длины вала задается в градусах и обозначается [φ0°].
Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:
φ0° = 180 Мкр / (пGIr) ≤ [φ0°]
В реальных механизмах обычно допускаются углы закручивания валов в пределах [φ0°] = 0,25…1 градус/м.
Пример решения задачи на кручение
Определить минимальный допустимый диаметр вала d, передающего крутящий момент Мкр = 464 Нм, если допускаемое напряжение кручения [τкр] = 30 МПа.
Решение
По известному передаваемому крутящему моменту можно определить момент сопротивления кручению:
Wr = Мкр / [τкр] = 464 / 30 х 106 = 15,6 х 10-6 м3.
Из зависимости между моментом сопротивления кручению и диаметром вала Wr ≈ 0,2D3 находим минимальный допустимый диаметр:
D ≈ 3√(Wr / 0,02) ≈ 43 мм (здесь и далее √ — знак корня).
Округляя найденное значение диаметра до стандартной величины (в большую сторону), принимаем D = 45 мм.
***
Потенциальная энергия деформации при кручении
Представим себе круглый цилиндрический брус (вал) постоянного сечения, жестко защемленный одним концом и нагруженный на другом конце моментом, приложенным статически, т. е. медленно возрастающим от нуля до какого-либо значения Т.
Полагаем, что момент остается в пределах, когда нагрузка и деформация пропорциональны, т. е. справедлив закон Гука.
Момент Т вызывает в брусе деформацию кручения и при этом совершает работу W, которая аккумулируется в виде потенциальной энергии деформации U, причем пренебрегая незначительными потерями энергии (например, на нагрев бруса), можно считать, что W = U.
Работа в случае статического нагружения равна: W = Т φ / 2, где φ — полный угол закручивания бруса.
Так как Т = Мкр, то справедливо равенство:
U = W = Т φ / 2 = Мкр2 l / (2Glr).
При одновременном действии нескольких моментов или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения брус разбивают на однородные участки и потенциальную энергию деформации всего бруса определяют как сумму потенциальных энергий этих участков.
***
Материалы раздела «Деформация кручения»:
- Понятие о кручении цилиндрического бруса (вала)
- Построение эпюр крутящих моментов
- Деформации и напряжения, возникающие при кручении
- Расчеты на прочность и жесткость при кручении
- Расчет цилиндрических винтовых пружин
Деформация среза
Источник
2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σ≤рσ[р ]; σ с ≤[ с],σ (2.9) где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: Здесь σпред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо- гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре- дел ползучести и др. Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести σт (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации. Допускаемое напряжение в этом случае определяют как Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика) где σвр и σвс – пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б). Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение σ, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σт и [nв] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности σв. Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n]; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее усилие N≤N[ ] = ⋅[σ]A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F].
Источник
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник