Кручение растяжение и сжатие

Деформация сдвига, кручения, изгиба – это изменение объема и формы тела при воздействии на него дополнительной нагрузки. При этом меняются расстояния между молекулами или атомами, приводящие к появлению сил упругости. Рассмотрим основные виды деформаций и их характеристики.

Сжатие и растяжение

Деформация растяжения связана с относительным либо абсолютным удлинением тела. В качестве примера можно привести однородный стержень, который закреплен с одного конца. При приложении вдоль оси силы, действующей в противоположном направлении, наблюдается растягивание стержня.

Сила же, прикладываемая по направлению к закрепленному концу стержня, приводит к сжатию тела. В процессе сжатия либо растяжения происходит изменение площади сечения тела.

Деформация растяжения – это изменения состояния объекта, сопровождающиеся смещением его слоев. Данный вид можно проанализировать на модели твердого тела, состоящего из параллельных пластин, которые между собой соединены пружинками. За счет горизонтальной силы осуществляется сдвиг пластин на какой-то угол, объем тела при этом не меняется. В случае упругих деформаций между силой, приложенной к телу, и углом сдвига выявлена прямо пропорциональная зависимость.

Деформация изгиба

Рассмотрим примеры деформации данного вида. В случае изгиба, выпуклая часть тела подвергается некоторому растяжению, а вогнутый фрагмент сжимается. Внутри тела, подвергающегося данному варианту деформации, есть слой, который не испытывает ни сжатия, ни растяжения. Его принято называть нейтральным участком деформируемого тела. Вблизи него можно уменьшить площадь тела.

В технике примеры деформации данного типа используют для экономии материалов, а также для уменьшения веса возводимых конструкций. Сплошные брусья и стержни заменяют трубами, рельсами, двутавровыми балками.

Деформация кручения

Эта продольная деформация является неоднородным сдвигом. Она возникает при действии сил, направленных параллельно либо противоположно на стержень, у которого закреплен один конец. Чаще всего сложным деформациям подвергаются различные детали и механизмы, применяемые в конструкциях и машинах. Но благодаря сочетанию нескольких вариантов деформаций, существенно облегчается вычисление их свойств.

Кстати, в процессе существенной эволюции кости птиц и животных приняли трубчатый вариант строения. Такое изменение способствовало максимальному упрочнению скелета при определенной массе тела.

Деформации на примере организма человека

Тело человека подвергается серьезным механическим нагрузкам от собственных усилий и веса, появляющихся по мере физической деятельности. Вообще, деформация (сдвиг) характерна для человеческого организма:

• Сжатие испытывает позвоночник, покровы ступней, нижние конечности.
• Растяжению подвергаются связки, верхние конечности, мышцы, сухожилья.
• Изгиб характерен для конечностей, костей таза, позвонков.
• Кручениям подвергается во время поворота шея, при вращении ее испытывают кисти рук.

Но при превышении показателей предельного напряжения, возможен разрыв, например костей плеча, бедра. В связках же ткани соединяются настолько эластично, что допускается растягивание их в два раза. Кстати, деформация сдвига объясняет всю опасность передвижения женщин на высоких каблуках. Вес тела будет переноситься на пальцы, что приведет к повышению нагрузки на кости в два раза.

По результатам медицинских осмотров, проводимых в школах, из десяти детей лишь одного можно считать здоровым. Как деформации связаны с детским здоровьем? Сдвиг, кручение, сжатие – основные причины нарушения осанки у детей и подростков.

Прочность и деформации

Несмотря на многообразие живого и неживого мира, на создание человеком многочисленных материальных объектов, у всех предметов и живых существ есть общее свойство — прочность. Под ней принято понимать способность материала сохраняться на протяжении длительного временного промежутка без видимых разрушений. Существует прочность конструкций, молекул, сооружений. Эта характеристика уместна для кровеносных сосудов, человеческих костей, кирпичной колонны, стекла, воды. Деформация сдвига – вариант проверки сооружения на прочность.

Применение разных видов деформаций человеком имеет глубокие исторические корни. Все начиналось с желания соединить между собой палку и острый наконечник, чтобы охотиться на древних животных. Уже в те далекие времена человека интересовала деформация. Сдвиг, сжатие, растяжение, изгиб помогали ему создавать жилища, орудия труда, готовить пищу. По мере развития техники человечеству удалось использовать различные виды деформаций так, чтобы они приносили весомую пользу.

Закон Гука

Математические расчеты, необходимые в строительстве, технике, позволили применять закон Гука для деформации сдвига. Формула показывала прямую связь между силой, прикладываемой к телу, и его удлинением (сжатием). Гук использовал коэффициент жесткости, показывая связь между материалом и возможностью его деформации.

По мере развития и совершенствования технических средств, аппаратов и приборов, разработки теории сопротивления, были проведены серьезные исследования пластичности и упругости. Результаты проведенных фундаментальных экспериментов стали применять в строительной технике, теории сооружений, теоретической механике.

Благодаря комплексному подходу к проблемам, связанным с различными видами деформации, удалось развить строительную отрасль, осуществлять профилактику правильной осанки у подрастающего поколения страны.

Заключение

Деформации, рассматриваемые в курсе школьной физики, оказывают влияние на процессы, происходящие в живом мире. В организмах человека, животных постоянно происходит кручение, изгиб, растяжение, сжатие. И для того чтобы осуществлять своевременную и полноценную профилактику проблем, связанных с осанкой или избыточным весом, медики используют зависимости, выявленные физиками при проведении фундаментальных исследований.

Например, прежде чем осуществлять протезирование нижних конечностей, выполняется детальный расчет максимальной нагрузки, на которую он должен быть рассчитан. Протезы подбираются для каждого человека индивидуально, так как важно учесть вес, рост и подвижность последнего. При нарушениях осанки применяют специальные коррекционные пояса, основанные на использовании деформации сдвига. Современная реабилитационная медицина не смогла бы существовать без использования физических законов и явлений, в том числе и без учета закономерностей различных видов деформаций.

Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывает большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения.

При расчете валов мы будем учитывать только крутящий или изгибающий моменты, действующие в опасном поперечном сечении, и не будем принимать во внимание поперечные силы, так как соответствующие им касательные напряжения относительно невелики.

Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по формулам, причем для

круглых валов Wp = 2 W.

При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки поперечного сечения вала, наиболее удаленные от нейтральной оси.

Применив третью теорию прочности, получим

Выражение, стоящее в числителе, назовем эквивалентным моментом и обозначим через Мэкв. Тогда расчетная формула для круглых валов принимает вид аэкв = Мэкв/W [а] (валы обычно изготовляют из материала, у которого [crp J = [сгс ] = [а]).

По этой формуле расчет круглых валов ведут так же, как при расчете на изгиб, но не по изгибающему, а по эквивалентному моменту. Применив энергетическую теорию прочности, получим

и тогда

Для расчетов деталей на сочетание деформаций поперечного изгиба и кручения необходимо, как правило, составить расчетную схему конструкции и построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, определить предположительно опасные сечения, после чего, применив одну из теорий прочности, произвести необходимые расчеты.

На рис. 7.6 в прямоугольных проекциях представлены: ведущий вал цилиндрической прямозубой передачи, расчетная схема вала и эпюры крутящего и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Эпюры построены на основании следующих данных:

передаваемая мощность Р = 40 кВт;

частота вращения вала п = 1000 об/мин;

диаметр делительной окружности зубчатого колеса D = 300 мм;

расстояние между опорами вала / = 400 мм;

радиальная нагрузка на зуб колеса Ту = 0,36 F„ где /у — окружная сила на колесе.

Проведем проверку прочности вала, изображенного на рис. 7.6, если дано: диаметр вала в опасном сечении d = 35 мм; допускаемое напряжение для вала [стр] = 70 МПа.

Прежде всего определим вращающий момент Т

Далее определим окружное и радиальное усилия F, и /у:

По этим данным строим эпюры Мк и Ми. Из эпюр видно, что опасное сечение расположено в месте закрепления зубчатого колеса.

Рис. 7.6

Применим третью теорию прочности:
учитывая, что

Взяв значения моментов из эпюр на рис. 7.6, получим

Следовательно, прочность вала недостаточна, поэтому нужно увеличить диаметр вала примерно в два раза.

На рис. 7.7 в аксонометрической проекции представлены трансмиссионный вал ременной передачи, расчетная схема вала и эпюры крутящего и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Данные для расчетов на изгиб и кручение приведены на рисунке.

Рис. 7.7

Сочетание деформаций кручения и растяжения испытывают, например, болты и крепежные винты, а сочетание деформаций кручения и сжатия — винты домкратов и винтовых прессов, сверла и шпиндели сверлильных станков. Эти детали обычно изготовляют из материалов, у которых [ар] = [стс] = [ст].

Нормальные и максимальные касательные напряжения в этих случаях вычисляют по формулам

Применив третью теорию прочности, получим расчетную формулу

Применив энергетическую теорию прочности, получим

В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения – одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.

Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:

Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) – величина определяющая жесткость материала, единица измерения – паскаль (ПА).

Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.

При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.

Внутренние усилия при растяжении и сжатии

При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие.  На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.

Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.

Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.

Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:

U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)

Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения.  Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.

Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения – джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA – это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.

Напряжения при растяжении сжатии

Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к.  реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:

Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.

Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:

Δl=Nl/EA

Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).

В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.

В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр – сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.

Деформации при растяжении сжатии

При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый – упругая, второй – пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.

Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.

Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая – разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая – отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.

Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:

F=kx

В данном случае х – увеличение длины пружины, k – коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F – сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.

Расчеты на прочность и жесткость

Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности – безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.

Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.

Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.

Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.

С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.

С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.

При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.

Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.

Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.