Косой изгиб с кручением и растяжением
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник
Косой изгиб
Косым изгибом называют такой изгиб стержня, при котором силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей.
Косой изгиб, вызванный силами, лежащими в одной силовой плоскости, называется плоским косым изгибом. В этом случае изогнутая ось балки представляет собой плоскую кривую, не лежащую
в силовой плоскости.
Если же при косом изгибе действующие на стержень нагрузки не лежат в одной плоскости, то стержень будет испытывать пространственный косой изгиб. В таком случае изогнутая ось — пространственная кривая.
Рассмотрим пример плоского косого изгиба стержня прямоугольного сечения (рис. 7.1, а) [25, 26].
Сила /составляет угол ос с главной вертикальной осью сечения. Разложим силу /’на две составляющие, лежащие в главных плоскостях стержня:
(7.1)
Рх-Р$іпа Ру=Рсо$а.
Каждая составляющая силы /вызовет прямой изгиб: /х — в горизонтальной плоскости (вокруг оси у); Ру — в вертикальной плоскости (вокруг осих).
Следовательно, косой изгиб можно рассматривать как сумму двух прямых изгибов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Найдем изгибающие моменты в произвольном сечении, находящемся на расстоянии г от свободного края:
(7.2)
Мх = /уг; Му = /хг.
Нормальное напряжение в произвольной точке К (см. рис. 7 Л, а), имеющей координаты х, у, можно найти как сумму напряжений от двух изгибов (рис. 7.1, б, в):
Рис. 7.1. Косой изгиб стержня:
а — расчетная схема; б — эпюра нормальных напряжений от изгибающего момента Му в — эпюра нормальных напряжений от изгибающего момента Мх
г — составляющие прогиба
Из этого уравнения можно найти положение нейтральной линии сечения, приравняв нормальные напряжения к нулю:
(MX/J;)y + {M,/J,)x=0,
откуда
y = -(MyJx)x/MxJy. (7.4)
Выразим изгибающие моменты Мх и Mv через внешнюю силу F:
у = ~(xF: sin a//7, cos а) (j х /Jv)
у = ~(х$та/со$а)^х^у) = -хХ%а{] х^ Л. (7.5)
Обозначив коэффициент при * через к, получим уравнение вида
У = кх,
где к = -Хёи.(]х/J}>У .
Известно, что это — уравнение прямой, проходящей через начало координат (центр тяжести сечения) и наклоненной под некоторым углом ф к положительному направлению оси х, тангенс которого численно равен коэффициенту пропорциональности к, т. е.
к = Х%ц = -Ща^х/1уУ (7.6)
При прямом изгибе силовая и нейтральная линии сечения были взаимно перпендикулярны. Выясним, будут ли они перпендикулярными и при косом изгибе. Из курса математики известно условие перпендикулярности двух прямых:
к = -1/к1,
где кнкх — угловые коэффициенты прямых, численно равные тангенсам углов наклона этих прямых с положительным направлением оси абсцисс.
Из выражения (7.6) видно, что /х. фJy, tgф?^-tga.
Выразим угол а силовой плоскости через угол (3, который составляет силовая плоскость с положительным направлением оси х:
а = (90° — (3).
Подставим а = (90° — Р) в последнее неравенство:
tgф*-tg(90o-P),
но
tg(90o-P) = ctgP = l/tgP.
Тогда tgф*-l/tgp или
к ф -1Д| .
Это значит, что силовая и нейтральная линии не будут перпендикулярны. Кроме того, нулевая и силовая линии проходят через разные квадранты сечения. Так, в нашем примере силовая линия проходит через первый и третий квадранты, а нулевая — через второй и четвертый.
Зная положение нейтральной линии, легко определить наиболее удаленные от нее точки и, найдя их координаты, вычислить максимальные напряжения в зоне растяжения и сжатия. В приведенном примере это будут точки В и й. В точке й — максимальное напряжение растяжения, в точке В — сжатия:
°0={Мх/-‘Х)У0+{Му/'[у)х0 •
Уп = Ь/2, хп=Ь/2.
Тогда
откуда
Аналогично получим выражение для максимально нагруженной точки в зоне сжатия:
Для сечения простой формы опасная точка находится сразу. В случае сечения сложной формы (рис. 7.2) опасную точку находят графически [24].
Рис. 7.2. Определение опасной точки сечения сложной формы
На вычерченном в масштабе сечении проводят главные центральные оси х и у, строят нейтральную линию, затем, передвигая угольник параллельно нейтральной линии, определяют максимально удаленную точку, координаты хк, ук которой снимают непосредственно с чертежа.
При косом изгибе, как и при прямом, закон распределения напряжений линейный. Зная максимальные напряжения, можно построить эпюру напряжений. Хотя пространственные эпюры более наглядны (рис. 7.1, б, в), чаще строят плоские эпюры. На рис. 7.3 показано построение плоских эпюр для случая, соответствующего рис. 7.1. Условие прочности при косом изгибе будет иметь вид
(7.7)
max
Рис. 7.3. Построение плоских эпюр взамен пространственных
Для выполнения расчетов на жесткость при косом изгибе необходимо знать максимальный полный прогиб, который может быть определен на основе принципа независимости действия сил.
Сначала следует найти отдельно прогибы балки в главных плоскостях так, как это было указано в главе 5, а затем их геометрически сложить.
Так, для нашего примера
fx = F//3EJV = Fsinal3/3EJy ,
fy = F//3EJX = Ecosal}/3EJx полный прогиб свободного конца (рис. 7.1, г) будет равен
/=7л2+Л2 ?
Найдем направление прогиба, обозначив угол между полным прогибом и прогибом в направлении оси х через у.
Тогда
tg У = 4 /Л = (л3 cosa/зял,) ? (зшу If $тЫг) = Jy cosa /J х sin a
/-{/у/1х)Ъ
(7.9)
а =
(7.8)
Подставив (7.9) в выражение (7.8), получим
1ЕУ = (/у/^)[-(1Л8Ф)(/х//>,)] = -1А§Ф,
откуда видно, что направление полного прогиба перпендикулярно к нулевой линии и, следовательно, не совпадает с силовой линией (ранее было показано, что нулевая линия не перпендикулярна силовой), а это, в свою очередь, подчеркивает, что стержень деформируется косо, не в силовой плоскости.
Пример 7.1 [25, 26]. Проверить прочность и жесткость стальной балки, изображенной на рис. 7.4, я, если [о] = 100 МПа, допускаемое значение прогиба 1/1 = //400.
Рис. 7.4. К определению прочности и жесткости балки:
а — расчетная схема; б — эпюра поперечных сил; в — эпюра изгибающих
моментов
Для нахождения момента в опасном сечении строим эпюру изгибающих моментов, предварительно определив реакции. Из симметрии нагружения балки
Ул = У, = чЧ 2-
Опасным будет сечение под серединой балки (рис. 7.4, в), о котором возникает максимальный изгибающий момент
М„ш т, = (?//2)(//2) — («?//2)(//4) = ?/2/8.
Найдем составляющие изгибающего момента:
мтжх = (/2/8)со5ос; Мтаху =(ч12/&упа ,
или, подставив численные значения,
Л/тах,=(и і03-42/8)-0,866 = 1,9 Ю3 Н м,
М
тах у
= (і,2• 103 • 42/8)-0,5 = 1,2-106 Н м.
В точке /) возникают наибольшие напряжения растяжения, а в точке С — сжатия:
а„.с = ±Мх/П’х±Му/Н’у.
Подставив численные значения А/л. и Му и взяв моменты сопротивления сечения из ГОСТ 8239-72: 1?х = 184 см3, ?у = 23,1 см3, получим
адс=±1,9 103/184 10_6±1,2 103/23,М0″6=±62 1 06 Па6 Па.
Найдем прогиб в вертикальной и горизонтальной плоскостях, используя табл. 7.2 [10]: Д. =ц^,=дсо$а; /д = 1840 см4; У^ =115 см4:
/у = (5/384) • {qylЛ|EJx ) = (5 1,2 103 0,866 44)/(384 2 1011 1840-10-8) =
= 0,95 -10_3 м;
/д = (5/384) • (^л./4/?У) = (5 • 1,2 • 103 • 0,5 • 44)/(384 • 2 • 1011 • 115 • 10-8) =
= 8,7-10_3 м.
Полный максимальный прогиб вычислим по формуле
/ = ч/Л2 +1] = А?2 + 0,952 = 8,8 мм.
Найдем 1/1:
[/] = //400 = 4000/400 = 10 мм.
Так как / = 8,8
Источник
Косым изгибом называется такой изгиб, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении балки не совпадает с главными плоскостями инерции Оху или Oxz. Различают два вида косого изгиба: плоский и пространственный. При плоском косом изгибе (рис. 12.4, а) нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции. Эта плоскость называется силовой плоскостью, а линия ее пересечения с плоскостью поперечного сечения балки — силовой линией. При пространственном косом изгибе (рис. 12.4, б) нагрузки действуют в различных плоскостях.
Рис. 12.4
Обозначим через а^угол между силовой линией и главной осью Оу. Будем считать этот угол положительным при повороте силовой линии от оси Оу против хода часовой стрелки. Как при плоском, так и при пространственном косом изгибе суммарный изгибающий момент М, действующий в сечении балки (рис. 12.5, в), можно разложить на два изгибающих момента М и М,, действующих в главных плоскостях инерции:
Поделив первое из этих равенств на второе, выразим угол ар через отношение изгибающих моментов:
Из этого равенства видно, что если изгибающие моменты М и М имеют одинаковые знаки, то угол ар положителен. В этом случае силовая линия проходит через первую и третью четверти плоскости Oyz (рис. 12.5, б).
При плоском косом изгибе внутренние усилия М , Mz, Q , ()_ не являются независимыми, поскольку они определяются одними и теми же нагрузками, действующими в силовой плоскости. При этом угол (ХрОдин и тот же во всех сечениях. При пространственном изгибе внутренние усилия имеют различные законы изменения по длине балки, так как вычисляются от нагрузок, действующих в разных плоскостях. При этом величина угла ар также изменяется по длине балки.
Если в (12.1) положить N = 0, то получим формулу для нормальных напряжений при косом изгибе:
Здесь J и У. — главные моменты инерции сечения; у и z — координаты точек сечения.
Рис. 12.5
Из (12.4) видно, что при косом изгибе напряжения а изменяются по координатам у и z по линейному закону.
Положив в (12.4) о = 0, получим уравнение нулевой линии:
гдеу0 и — координаты точек нулевой линии (рис. 12.5, б). Выражение (12.5) является уравнением прямой, проходящей через начало координат.
Если обозначить через ос0 угол между нулевой линией и главной осью Oz, то из уравнения (12.5) найдем
Учитывая (12.3), получим соотношение, связывающее между собой углы а0 и а^,:
Знак минус в этой формуле указывает на то, что нулевая линия по отношению к силовой линии проходит через две другие четверти осей координат. Отсюда следует, что угол а0 откладывается от оси Oz в ту же сторону, что и угол ар от оси Оу (рис. 12.5, б).
На основании гипотезы плоских сечений при деформациях балки ее поперечные сечения поворачиваются вокруг нулевых линий. При этом наибольшие деформации удлинения и укорочения, а следовательно, и напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии. Таким образом, для вычисления наибольших напряжений в сечении необходимо подставить в формулу (12.4) координаты точек, наиболее удаленных от нулевой линии. Для сечений типа прямоугольника и двутавра, имеющих две оси симметрии, наибольшие по абсолютной величине напряжения удобно вычислять по формуле
где W , Wz — моменты сопротивления сечения.
На рис. 12.5, 6 показан характер эпюры нормальных напряжений для прямоугольного сечения. В этом случае наибольшие рас- тягивающие а» и сжимающие ст напряжения возникают в противоположных угловых точках сечения.
Условие прочности при косом изгибе для балок с отмеченным выше типом поперечного сечения имеет вид
а в случае произвольного сечения
В этих формулах М , Л/ — изгибающие моменты в опасном сечении балки; у, z— координаты точки, наиболее удаленной от нулевой линии. При использовании условия (12.9) величины М, Mz, у, z необходимо брать с учетом их знаков.
Важно заметить, что при пространственном изгибе положение опасного сечения не всегда является очевидным, так как изгибающие моменты М и Л/, возникают от действия различных нагрузок и не зависят друг от друга. В этих случаях необходимо проверять прочность в нескольких сечениях балки, например в сечениях, где М и М имеют наибольшие значения.
У z
Для определения прогибов балки при косом изгибе необходимо действующие на балку нагрузки разложить на составляющие, параллельные главным осям Оу, Oz, и определить по отдельности прогибы v и w по направлениям этих осей (рис. 12.6). Полный прогиб/в произвольном сечении балки и его направление определяются по формулам
Рис. 12.6
где оу— угол между направлением суммарного прогиба и осью Оу.
Аналогично могут быть найдены углы поворота сечений балки.
Рассмотрим примеры расчета балок при плоском и пространственном косом изгибе.
Пример 12.1. Деревянная консольная балка прямоугольного сечения (рис. 12.7) нагружена на свободном конце силой Р, направленной под углом ар = 30° к оси Оу. Нормативное значение нагрузки Рн = 3 кН, коэффициент надежности по нагрузке у^= 1,2. Расчетное сопротивление дерева (сосна) R = 13 МПа, модуль упругости Е = 104 МПа, коэффициент условий работы ус = 1. Размеры балки приведены на рис. 12.7, а, б.
Рис. 12.7
Построим эпюру нормальных напряжений для сечения в заделке, проверим прочность балки и определим прогиб на свободном конце.
Согласно СНиП при расчете на прочность необходимо брать расчетные нагрузки, а при определении перемещений — их нормативные значения.
Определим величину расчетной нагрузки и изгибающие моменты в заделке:
Главные моменты инерции и моменты сопротивления сечения равны
По формуле (12.6) находим положение нулевой линии:
По формуле (12.8) проверяем прочность балки:
Условие прочности выполняется. Эпюра нормальных напряжений для сечения балки в заделке приведена на рис. 12.7, б.
Для определения прогиба свободного конца балки разложим заданную нормативную нагрузку Рн на составляющие Р = Рнcos ар и Pz = 7^ sin ар. Используя формулу для прогиба консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой на конце (см. табл. 9.2), найдем составляющие v и w полного прогиба / (рис. 12.7, в):
Подставив числовые значения величин, входящих в эти формулы, найдем v = 0,667 см, w = 1,540 см. По формулам (12.10) определим полный прогиб / = 1,678 см и его направление:
Из сравнения этого равенства с (12.6) следует, что | оу | = | сх01, то есть при плоском косом изгибе полный прогиб / направлен перпендикулярно к нулевой линии и изогнутая ось балки не расположена в силовой плоскости.
Пример 12.2. Стальная двутавровая балка сечением ~Llla (рис. 12.8) нагружена в главных плоскостях инерции Оху и Oxz сосред оточенным моментом М= 60 кНм и силой Р = 10 кН (заданы расчетные значения нагрузок). Расчетное сопротивление стали R = 210 МПа, коэффициент условий работы ус = 1.
Построим эпюру нормальных напряжений для опасного сечения и проверим прочность балки.
Рис. 12.8
Моменты инерции и моменты сопротивления сечения 127 а равны: Jz = 5500 см4; Jy = 337 см4; Wz = 407 см3; Wy = 50 см3.
На рис. 12.8, 6 построены эпюры изгибающих моментов Mz и Му. Наибольшие величины моменты Л/ и М имеют соответственно в сечениях CuD балки. Поэтому необходимо проверить прочность балки по формуле (12.8) в обоих сечениях.
В сечении С М = 45 кНм, Му = 2,5 кНм,
В сечении D Мг~ 15кНм, Му = 7,5 кНм,
Условие прочности в обоих сечениях выполняется. Более опасным является сечение D. Для построения эпюры напряжений в этом сечении определим по формулам (12.3) и (12.6) положения силовой и нулевой линий:
Так как > 0, то согласно введенному правилу знаков для угла ар силовая линия проходит через первую и третью четверти осей координат, а нулевая линия — через вторую и четвертую четверти. Эпюра нормальных напряжений для сечения D балки показана на рис. 12.8, в.
Источник