Косинус растяжение по оси
Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.
п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс – с периодом π. Получаем следствие общих принципов:
При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ период второй функции уменьшается в p раз: $$ T_2=frac{T_1}{p} $$
При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ период второй функции увеличивается в p раз: $$ T_2=pT_1 $$
Например:
Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sin2x, h(x)=sinfrac{x}{2} $$ 
Период колебаний функции (g(x)=sin2x) в 2 раза меньше: (T_g=frac{2pi}{2}=pi).
Период колебаний функции (h(x)=sinfrac{x}{2}) в 2 раза больше: (T_h=2cdot 2pi=4pi).
п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=Af(x), Agt 1 $$ график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Общий принцип сжатия графиков:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=frac{1}{A}f(x), Agt 1 $$ график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:
- умножение на параметр (Agt 1) увеличивает амплитуду колебаний в (A) раз;
- деление на параметр (Agt 1) уменьшает амплитуду колебаний в (A) раз.
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx, g(x)=2cosx, h(x)=frac{1}{2}cosx $$ 
Умножение на (A=2) увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.
Область значений функции (g(x)=2cosx: yin[-2;2]). График растягивается по оси OY.
Деление на (A=2) уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции (h(x)=frac12 cosx: yinleft[-frac12; frac12right]). График сжимается по оси OY.
2) Теперь построим $$ f(x)=tgx, g(x)=2tgx, h(x)=frac{1}{2}tgx $$ 
В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на (A=2) служит поведение функции при (x=fracpi4). $$ fleft(fracpi4right)=tgleft(fracpi4right)=1, gleft(fracpi4right)=2tgleft(fracpi4right)=2, hleft(fracpi4right)=frac12 tgleft(fracpi4right)=frac12 $$ Аналогично – для любого другого значения аргумента x.
п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы переноса по оси OX:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x+a), agt 0 $$ график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x-a), agt 0 $$ график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций (y_1=f(x)) и (y_2=f(xpm a)) говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен (pm a).
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinleft(x+fracpi4right), h(x)=sinleft(x-fracpi4right) $$ 
Функция (g(x)=sinleft(x+fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) влево по сравнению с (f(x))
Функция (h(x)=sinleft(x-fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) вправо по сравнению с (f(x))
п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы переноса по оси OY:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)+a, agt 0 $$ график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)-a, agt 0 $$ график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinx+1, h(x)=sinx-1 $$ 
Функция (g(x)=sinx+1) сдвинута на 1 вверх по сравнению c (f(x))
Функция (h(x)=sinx-1) сдвинута на 1 вниз по сравнению с (f(x))
п.5. Общее уравнение синусоиды
Синусоида – плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Asin(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B – вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)
График (y(x)=Acos(cx+d)+B) также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.
Например:
Построим график (g(x)=3sinleft(2x+fracpi2right)-1)
По сравнению с (f(x)=sinx):
- (A=3) — график растянут по оси OY в 3 раза
- (c=2) — период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
- (d=fracpi2) – начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{2cdot 2}=fracpi4) влево
- (B=-1) — график сдвинут по оси OY на 1 вниз
п.6. Общее уравнение тангенцоиды
Tангенцоидa – плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Atg(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B – вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)
График (y(x)=Actg(cx+d)+B) также называют тангенцоидой.
Например:
Построим график (g(x)=frac12 tgleft(frac{x}{2}-fracpi3right)+1)
По сравнению с (f(x)=tgx):
- (A=frac12) — график сжат по оси OY в 2 раза
- (c=frac12) — период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси OX
- (d=-fracpi3) – начальная фаза отрицательная, график сдвинут на (frac{pi}{3cdot 1/2}=frac{2pi}{4}) вправо
- (B=1) — график сдвинут по оси OY на 1 вверх
п.7. Примеры
Пример 1.Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx, g(x)=-sinx, h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для (g(x)) и (h(x)) в сравнении с (f(x)). 
Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.
Для (f(x)=sinx) главная арка определена на отрезке (0leq xleq pi)
Для (g(x)=-sinx) главная арка определена на отрезке (-pileq xleq 0), т.е. сдвинута на π влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=g(x+pi), sinx=-sin(x+pi) $$ Для (h(x)=cosx) главная арка определена на отрезке (-fracpi2leq xleq fracpi2), т.е. сдвинута на (fracpi2) влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=hleft(x+fracpi2right), sinx=cosleft(x+fracpi2right) $$
Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) (y=sin5x)
Период синуса (2pi) уменьшается в 5 раз. Получаем: (T=frac{2pi}{5})
б) (y=cospi x)
Период косинуса (2pi) уменьшается в (pi) раз. Получаем: (T=frac{2pi}{pi}=2)
в) (y=tgfrac{x}{4})
Период тангенса (pi) увеличивается в 4 раза. Получаем: (T=4pi)
г) (y=tgleft(2x+frac{pi}{3}right))
Период тангенса (pi) уменьшается в 2 раза. Получаем: (T=fracpi2)
Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctgleft(3x+fracpi6right) $$ По сравнению с (g(x)=tgx):
- (A=2) — график растянут по оси OY в 2 раза
- (c=3) — период меньше в 3 раза (T=fracpi3), расстояние между асимптотами (fracpi3), график сжат в 3 раза по оси OX
- (d=-fracpi6) – начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{6cdot 3}=frac{pi}{18}) влево
Расположение нулей: $$ tgleft(3x+fracpi6right)=0Rightarrow 3x+fracpi6=pi kRightarrow 3x=-fracpi6+pi kRightarrow x =-frac{pi}{18}+frac{pi k}{3} $$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.
Расположение асимптот: $$ 3x+fracpi6nefracpi2+pi kRightarrow 3xnefracpi3+pi kRightarrow xnefracpi9+frac{pi k}{3} $$ Пересечение главной ветви с осью OY: (x=0, y=2tgfracpi6=frac{2}{sqrt{3}})
С учетом периода (fracpi3) получаем семейство дополнительных точек для построения графика (left(frac{pi k}{3}; frac{2}{sqrt{3}}right)).
Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) (sinx=sin2x) при (0leq xleq 3pi)
Ответ: 7 корней
б) (cosfrac{x}{2}=cos2x) при (-2pileq xleq 2pi)
Ответ: 7 корней
Источник
Список функций, изученных в 7 и 8 классе
Функция | Формула | График | Раздел справочника |
Прямая пропорциональность | y = kx | Прямая | 7 кл., §37 |
Линейная функция | y = kx+b | Прямая | 7 кл., §38-39 |
Обратная пропорциональность | $ y = frac{k}{x} $ | Гипербола | 8 кл., §6 |
Квадрат числа | $ y=x^2$ | Парабола | 8 кл., §18 |
Квадратный трёхчлен | $ y = ax^2+bc+c$ | Парабола | 8 кл., §28-29 |
Квадратный корень | $ y = sqrt{x}$ | Парабола | 8 кл., §22 |
Растяжение и сжатие графика по оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$
где $p gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть p = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $ $y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f(2x) = frac{4}{(2x)} = frac{2}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1 $ График сжимается в 2 раза по оси OX |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f(2x) = sqrt{2x}$ $y_2=y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX |
|
Теперь сравним пары функций с делением на p:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f left( frac{x}{p} right), quad p gt 1 $$
Пусть p = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f left(frac{x}{2}right) = left(frac{x}{2}right)^2 = frac{x^2}{4} $ $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = frac{4}{x/2} = frac{8}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = sqrt{frac{x}{2}}$ $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
|
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(px), quad p gt 1 $$
график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f Biggl(frac{x}{p}Biggr), quad p gt 1 $$
график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Растяжение и сжатие графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x) $$
где $A gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть A = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = 2f(x) = 2x^2 $ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = 2f(x) = frac{8}{x}$ $ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = 2f(x) = 2sqrt{x}$ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |
|
Теперь сравним пары функций с делением на A:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
Пусть A = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{x^2}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{2}{x}$ $ y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{sqrt{x}}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |
|
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x), quad A gt 1 $$
график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = sqrt{x}, y = sqrt{3x}, y = sqrt{frac{x}{3}}, y = 3sqrt{x} $$
Сделайте выводы.
По сравнению с графиком $y = sqrt{x}$:
- график функции $y = sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
- график функции $y = sqrt{frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
- график функции $y = 3sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)
Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = f(x), y = f(2x), y = f Biggl(frac{x}{2}Biggr), y = 2f(x) $$
где $f(x) = x^2+3x+2$
Сделайте выводы.
Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$
Остальные функции
$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$
$$ y = fBiggl(frac{x}{2}Biggr) = Biggl(frac{x}{2}Biggr)^2+3 cdot Biggl(frac{x}{2}Biggr) +2 = frac{x^2}{4}+ frac{3}{2} x+2 $$
$$ y = 2f(x) = 2x^2+6x+4 $$
Получаем:
По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:
- график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
- график функции $y = f left(frac{x}{2}right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
- график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)
Рейтинг пользователей
75
Best gift
70
Danil Kornienko
70
FixEye:3
55
CS-N
50
Елена Зайцева
Источник
Перед вами третья статья из цикла “Геометрические преобразования графиков функций“.
1. Растяжение в $|k_1|$ раз по оси $Ox$.
Правило:
Чтобы построить график функции $y=f(|k_{1}|x)$, необходимо каждому значению функции $y=f(x)$, вычисленному в точке с абсциссой $x_{0}$, сопоставить абсциссу $frac{x_{0}}{|k_{1}|}$.
Рассмотрим это преобразование на примерах.
1. $y=sqrt{2x}$
Прообразом этой функции будет $y_0=sqrt{x}$.
$|k_1|=2 neq 1 Rightarrow$ происходит растяжение в 2 раза по оси $Ox$.
Рассмотрим ключевые точки функции: $(0;0), (1;1), (4;2)$.
Сопоставим значению прообраза в каждой ключевой координате абсциссу $frac{x_0}{2}$, то есть:
$(0;0) rightarrow x=frac{0}{2}=0; y=0 rightarrow (0;0)$;
$(1;1) rightarrow x=frac{1}{2}=0,5; y=1 rightarrow (0,5;1)$;
$(4;2) rightarrow x=frac{4}{2}=2; y=2 rightarrow (2;2)$.
То есть, наши ключевые точки переходят в точки $(0;0), (0,5;1), (2;2)$.
2. $y=cos{4x}$
Прообразом этой функции будет $y_0=cos{x}$.
$|k_1|=4 neq 1 Rightarrow$ происходит растяжение в 4 раза по оси $Ox$.
Рассмотрим ключевые точки функции (возьмём ключевые точки первого положительного оборота):
$(0;1), left(frac{pi}{2}; 0right), (pi;-1), left(frac{3pi}{2}; 0right), (2pi; 1)$.
Сопоставим значению прообраза в каждой ключевой координате абсциссу $frac{x_0}{2}$, то есть:
$(0;1) rightarrow x=frac{0}{4}=0; y=1 rightarrow (0;1)$;
$left(frac{pi}{2};0right) rightarrow x=frac{frac{pi}{2}}{4}=frac{pi}{8}; y=0 rightarrow left(frac{pi}{8};0right)$;
$left(pi;-1right) rightarrow x=frac{pi}{4}; y=-1 rightarrow left(frac{pi}{4};-1right)$;
$left(frac{3pi}{2};0right) rightarrow x=frac{frac{3pi}{2}}{4}=frac{3pi}{8}; y=0 rightarrow left(frac{3pi}{8};0right)$;
$left(2pi;1right) rightarrow x=frac{2pi}{4}=frac{pi}{2}; y=1 rightarrow left(frac{pi}{2};1right)$.
Таким образом, нашими ключевыми точками становятся точки: $(0;1), left(frac{pi}{8};0right), left(frac{pi}{4};-1right), frac{3pi}{8} rightarrow left(frac{3pi}{8};0right), left(frac{pi}{2};1right)$.
2. Растяжение в $|k_2|$ раз по оси $Oy$.
Правило:
Чтобы построить график функции $y=|k_{2}|f(x)$, необходимо значение функции $y=f(x)$ в каждой точке умножить на $|k_{2}|$ единиц.
Рассмотрим это преобразование на примерах.
1. $y=2x^2$
Прообразом этой функции будет $y_0=x^2$.
$|k_2|=2 neq 1 Rightarrow$ происходит растяжение в 2 раза по оси $Oy$.
Рассмотрим ключевые точки функции: $(-1;1), (0;0), (1;1)$.
Значение функции в каждой этой точке умножается на 2, то есть:
$(-1;1) rightarrow x=-1; y=2 cdot 1 = 2 rightarrow (-1;2)$;
$(0;0) rightarrow x=0; y=2 cdot 0 = 0 rightarrow (0;0)$;
$(1;1) rightarrow x=1; y=2 cdot 1 = 2 rightarrow (1;2)$.
Итак, имеем: $(-1;2), (0;0), (1;2)$.
2. $y=0,5sqrt{x}$
Прообразом этой функции будет $y_0=sqrt{x}$.
$|k_2|=0,5 neq 1 Rightarrow$ происходит растяжение в 0,5 раза по оси $Oy$.
Рассмотрим ключевые точки функции: $(0;0), (1;1), (4;2)$.
Значение функции в каждой этой точке умножается на 0,5, то есть:
$(0;0) rightarrow x=0; y=0,5 cdot 0 = 0 rightarrow (0;0)$;
$(1;1) rightarrow x=1; y=0,5 cdot 1 = 0,5 rightarrow (1;0,5)$;
$(4;2) rightarrow x=4; y=0,5 cdot 2 = 1 rightarrow (4;1)$.
Итак, имеем:
$(0;0), (1;0,5), (4;1)$.
3. $y=3sin{x}$
Прообразом этой функции будет $y_0=sin{x}$.
$|k_2|=3 neq 1 Rightarrow$ происходит растяжение в 3 раза по оси $Oy$.
Рассмотрим ключевые точки функции (возьмём ключевые точки первого положительного оборота):
$(0;0), left(frac{pi}{2}; 1right), (pi; 0), left(frac{3pi}{2}; -1right), (2pi; 0)$
Значение функции в каждой этой точке умножается на 3, то есть:
$(0;0) rightarrow x=0; y=3 cdot 0 = 0 rightarrow (0;0)$;
$left(frac{pi}{2}; 1right) rightarrow x=frac{pi}{2}; y=3 cdot 1 = 3 rightarrow left(frac{pi}{2}; 3right)$;
$left(pi; 0right) rightarrow x=pi; y=3 cdot 0 = 0 rightarrow left(pi; 0right)$;
$left(frac{3pi}{2}; -1right) rightarrow x=frac{3pi}{2}; y=3 cdot (-1) = -3 rightarrow left(frac{3pi}{2}; -3right)$;
$left(2pi; 0right) rightarrow x=2pi; y=3 cdot 0 = 0 rightarrow left(2pi; 0right)$.
Итак, имеем:
$(0;0), left(frac{pi}{2}; 3right), (pi; 0), left(frac{3pi}{2}; -3right), (2pi; 0)$
Замечание:
Как вы уже наверное отметили, при растяжении по оси $Oy$ есть точки, которые не меняются. Те точки, в которых $y=0$. Это свойство удобно применять при построении тригонометрических (и любых других периодических) функций.
Источник
Свойства функции y=sin(x) и ее график.
График функции (синусоида)
Свойства функции
- Область определения: R (x — любое действительное число) т.е.
- Область значений:
Функция нечетная:
(график симметричен относительно начала координат).
- Функция периодическая с периодом
- Точки пересечения с осями координат:
- Промежутки знакопостоянства:
- Промежутки возрастания и убывания:
Объяснение и обоснование
Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.
Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.
Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).
Рис.1.
Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси ординат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую ординату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть при.
Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию параллельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.
На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окружности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).
Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .
Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэтому при .
Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .
Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков
Рис.2 Рис.3
Если (рис.3,б), то при увеличении аргумента ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков
Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , например на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрично относительно начала координат (рис. 5).
Рис.4
Рис.5
Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)
Рис.6
Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Такие процессы называют гармоническими колебаниями.
График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным переносом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда
колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК
График функции (косинусоида).
Свойства функции
- Область определения: R (x — любое действительное число).
- Область значений:
Функция четная:
(график симметричен относительно оси ).
- Функция периодическая с периодом :
- Точки пересечения с осями координат
- Промежутки знакопостоянства:
- Промежутки возрастания и убывания:
Объяснение и обоснование
Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
.
Рис.7
Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .
Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .
Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть при .
Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .
Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .
Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следовательно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .
Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому при
Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .
Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента абсцисса соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .
Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента абсцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков .
Рис.8 Рис.9
Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу
Рис.10
Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также
абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте
прямоугольника около точки на угол — против часовой стрелки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.
Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.
Тогда,
Таким образом, .
Учитывая, что , график функции можно получить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).
Рис.11
Рис.12
График функции (тангенсоида)
Свойства функции :
1. Область определения:
2. Область значений:
3. Функция нечетная:
4. Функция периодическая с периодом
5. Точки пересечения с осями координат:
6. Промежутки знакопостоянства:
7. Промежутки возрастания и убывания:
8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
График функции (котангенсоида)
Свойства функции :
1. Область определения:
2. Область значений:
3. Функция нечетная:
4. Функция переодическая с периодом
5. Точки пересечения с осями координат:
6. Промежутки знакопостоянства:
7. Промежутки возрастания и убывания:
8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
Источник