Контрольные работы по растяжению



Контрольные работы по сопромату

На этой странице приведены примеры решения задач, предлагаемых для выполнения в качестве контрольной работы студентам технических специальностей Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова (АлтГТУ).
Страничка будет особенно полезна студентам, обучающимся по заочной форме.

Здесь можно скачать готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике) для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

***

Задание № 1.1

Расчет стержня

Условие задачи:

Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l1…l3, и площадью А1…А3, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате lF (см. рис. 1).
Материал стрежня – сталь Ст.3.

Требуется:

Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и перемещений δ.

Исходные данные:

width=»10%»>

Справочная информация:

Удельный вес стали Ст.3:   γ = (77…79)×103 Н/м3.
Для расчетов принимаем удельный вес равным   γ = 78×103 Н/м3.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3:   Е = 2×1011 Н/м2.

Указания:

Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q1 = γ×А1.
Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.

Решение задачи:

1. В соответствии с исходными данными вычерчиваем схему бруса (рис. 1.1) и выделяем силовые участки по размерам поперечного сечения.

2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. начиная с III-го силового участка.
Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (нижнюю часть).
Составляем уравнения равновесия отсеченной части стержня для нахождения продольной силы N, нормального напряжения σ и удлинения стержня ∆l на силовом участке III:

2.1. Поскольку внешняя сила F на участке III не действует, то продольная сила на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости сечения 3-3. При этом зависимость величины продольной силы N3 от координаты z3 будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А3 и плотность стали γ остается неизменной по всему участку. Данная продольная сила является сжимающей, т. е. условно отрицательной.
Уравнение для продольной силы на участке:

N3 = — q3×z3 = — γ×А3×z3,

где q3 – вес отсеченной части стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z3 – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А3 – площадь сечения силового участка III (м2);
γ – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 — γ = 78×103 Н/м3).

Тогда в сечении 3-3 (крайнее верхнее сечение силового участка) продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (в крайнем нижнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:

N3 Z3=1,3 м = — q3×z3 = — l3× γ×А3 = — 1,3×78×103×15×10-4 = — 152,1 Н ≈ — 0,152 кН.

2.2. Нормальное напряжение на силовом участке III определяем, как отношение продольной силы к площади участка в каждом рассматриваемом сечении стержня:

σ3 = N3/А3.

Зависимость между координатой z и величиной напряжения по сечениям будет линейной, как и для продольной силы.
Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:

σ3 Z3=1,3 м = N3/А3 = — 152,1/15×10-4 = — 101 400 Па    или    σ3 Z=1,3 м ≈ — 0,10 МПа.

2.3. На силовом участке III брус сжимается под собственным весом, т. е. имеет место его укорочение. Укорочение бруса на участке определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:

∆l3=1,3 м = — ∫[N3/(E×A3)]dz,

где Е – модуль продольной упругости стали; Е = 2×1011 Н/м2.

Укорочение силового участка изменяется по линейной зависимости от верхнего сечения (3-3) до нижнего сечения (2-2), при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N3 в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 укорочение будет равно:

∆l3 Z3=1,3 м = — ∫[N3/(E×A3)]dz = — ∫[(А3×γ×z3)/(Е×А3)]dz = (γ×l32)/2E =
= — (78×103×1,32)/(2×2×1011) = — 0,00000033 м    или    ∆l3=1,3 м≈ — 0,00033 мм.

3. Аналогично проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке II, учитывая, что к сечению 2-2 участка II (крайнему верхнему) приложена продольная сила N3 (вес силового участка III бруса).

3.1. Продольная сила на силовом участке II будет равна:
В начале силового участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):

N2 Z2=0 = N3 Z3=1,3 м= — 152,1 Н ≈ — 0,152 кН.

В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):

N2 Z2=1,3 м = N2 Z2=0 + q2×z2 = N2 Z2=0 + (l2× γ×А2) =
= — 152,1 — (1,3×78×103×30×10-4) = -456,3 Н ≈ -0,46 кН.

3.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка II:

В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):

σ2 Z2=0 = N2 Z2=0 /А2 = -69 836,2/10×10-4 = -69 836 200 Па ≈ -69,84 МПа.

В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):

σ2 Z2=1,3 м = N2 Z2=1,3 м /А2 = -456,3 / 30×10-4 = -152100 Па ≈ — 0,15 МПа.

3.3. Удлинение стержня на силовом участке II:

Участок II сжимается (укорачивается) под действием веса части бруса, расположенного над сечениями этого участка.

∆l2 = — (γ×l22)/2E — (N2 Z2=1,3м×l2/EA2) =
= [- (78×103×1,32)/(2×2×1011) — (456,3×1,3) / (2×1011×30×10-4)] ≈ -0,00000132    м    
или ∆l2 ≈ — 0,00132 мм.

4. Производим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке I , учитывая, что к сечению 1-1 участка (крайнему верхнему) приложена продольная сила N2 Z2=1,3 м, равная векторной сумме весов силовых участков II, III бруса и сосредоточенная сила F.
Сила F по отношению к участку I является растягивающей (т. е. условно положительной).

4.1. Продольная сила на участке I будет равна:

В начале участка I (сечение 1-1):

N1 Z1=0 = N2 Z2=1,3 м + F = — 456,3 + 70 000 = 69 543,7 Н ≈ 69,54 кН.

В конце участка I (сечение 0-0):

N1 Z1=1,1 м = N1 Z1=0 — q1×z1 = N1 Z1=0 — (l1× γ×А1) =
= 69 543,7 — (1,1×78×103×40×10-4) = 69 200,5 Н ≈ 69,2 кН.

4.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка I:

В начале участка I (сечение 1-1):

σ1 Z1=0 = N1 Z1=0 /А1 = 69 543,7/ 40×10-4 = 17 385 925 Па ≈ 17,39 МПа.

В конце участка I (сечение 0-0):

σ1 Z1=1,1 м = N1 Z1=1,1 м /А1 = 69 200,5/ 40×10-4 = 17 300 125 Па ≈ 17,30 МПа.

4.3. Удлинение бруса на силовом участке I:

Поскольку к верхнему сечению силового участка приложена растягивающая сила F, участок удлиняется:

∆l1 = — (γ×l12)/2E — (N1 Z1=1,1 м×l1/E×A1) =
= — (78×103×1,12)/(2×2×1011) + (69 200,5×1,1) / (2×1011×40×10-4) ≈ 0,00009491 м ≈
≈ 0,095 мм.

5. Определяем перемещения крайних сечений силовых участков стержня:

• δ0-0 = 0 мм;
• δ1-1 = ∆l1 = 0,095 мм;
• δ2-2 = ∆l1 + ∆l2 = 0,095 — 0,00132 ≈ 0,0937 мм;
• δ3-3 = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = 0,095 — 0,00132 — 0,00033 ≈ 0,0934 мм.

.

6. Результаты расчетов сводим в таблицу 2, и строим эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений (см. рис. 1.1).

Таблица 2. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.



5. Результаты расчетов сводим в Таблицу 1, и строим эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений (см. рис. 1).

Таблица 1. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.

***

Пример расчета вала на кручение

Сопротивление материалов