Коэффициент растяжения функции комплексного переменного

Лекция №4.

Геометрически функция комплексного переменного w=f(z) задает отображение некоторого множества z – плоскости на некоторое множество w -плоскости. Точка wÎG называется образом точки z при отображении w=f(z), точка zÎD – прообразом точки w.

Если каждому z соответствует лишь одно значение w=f(z), то функция называется однозначной(w=|z|, w= , w=Rez и т.д.) Если некоторым z соответствует более чем одно значение w, функция называется многозначной(w=Argz).

Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то функция w=f(z) называется однолистнойв области D.

Другими словами, однолистная функция w=f(z) взаимно однозначно отображает область D на G. При однолистном отображении w=f(z) прообраз любой точки wÎG состоит из единственного элемента: : . Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной w, определенную на G. Она обозначается и называется обратной функцией.

Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f(z) называют многолистной в области D.

Если отображение w=f(z) является многолистным на D (например, w=zn), то в этом случае некоторым значениям wÎG соответствует более, чем одна точка zÎD: f(z)=w. Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Однозначная на области D функция w=f(z) называется ветвью многозначной функции F, если значение f в любой точке zÎD совпадает с одним из значений F в этой точке.

Для того, чтобы выделить однозначные ветви многозначной функции, поступают следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w=f(z) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка zÎD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w=f(z). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Понятие о конформном отображении

Пример .Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z=2i при отображении .

■ Находим производную и ее значение в данной точке .

Коэффициент растяжения k равен модулю производной: .

Угол поворота j равен аргументу производной. Точка лежит в четвертой четверти, следовательно, . ■

Пример 3.5.Определить, какая часть плоскости при отображении w=z2 растягивается, а какая – сжимается.

■ Находим производную w¢=2z. Коэффициент растяжения в любой точке z равен k=|w¢(z)|=2|z|. Множество точек комплексной плоскости, для которых k>1, то есть 2|z|>1 или , образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении w=z2 внешность круга растягивается, а внутренняя часть — сжимается. ■

Отображение w=f(z) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.

Всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f(z) является конформным во всех точках, где .

Отображение называется конформным в области, если оно конформно в каждой точке этой области.

Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода. Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например, ).

В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи.

Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении – прямая задача.

Вторая заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область – обратная задача.

При решении прямой задачи учитывается, что образом точки z0 при отображении w=f(z) является точка w0, такая, что w 0=f(z0), то есть результат подстановки z0 в f(z). Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию w=f(z), другое – уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной z из двух заданных соотношений.

Правило 3.3. Для нахождения образа линии, заданной уравнением F(x,y)=0 (или в явном виде y=j(x)), при отображении w=f(z) необходимо:

1. Выделить действительную и мнимую части функции f(z): u=Ref(z), v=Imf(z).

2. Из системы исключить х и у. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.4. Для нахождения образа данной линии при отображении w=f(z) необходимо:

1. Записать уравнение линии в параметрической форме z=z(t) или в комплексной форме .

2. В зависимости от вида уравнения линии рассмотреть соответствующий случай:

— если линия задана в параметрической форме, подставить выражение z(t) в w=f(z);

— если линия задана в комплексной форме, то выразить z из w=f(z), то есть , и . Затем следует подставить z и в уравнении линии. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.

Первый способ.

1. Записать уравнение границы данной области. Найти образ границы заданной области по правилам 3.3 или 3.4.

2. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при данном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.

Второй способ.

1. Выразить z из соотношения w=f(z).

2. Подставить полученное в п.1. выражение в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение — искомый образ.

Пример.Найти образ окружности |z|=1 при отображении с помощью функции w=z2.

■ 1 способ (по правилу 3.3).

1. Пусть z=x+iy, w=u+iv. Тогда u+iv =x2-y2+i2xy. Получаем:

2. Исключим х и у из этих уравнений. Для этого возведем первое и второе уравнения в квадрат и сложим:

u2+v2=x4-2x2y2+y4+2x2y2= x4+2x2y2+y4=(x2+y2)2.

Учитывая третье уравнение системы, получаем: u2+v2=1 или |w|2=1, то есть |w|=1. Итак, образом окружности |z|=1 является окружность |w|=1, проходимая дважды. Это следует из того, что поскольку w=z2, то Argw=2Argz+2pk. Поэтому когда точка z описывает полную окружность |z|=1, то ее образ описывает окружность |w|=1 дважды.

2 способ (по правилу 3.4).

1. Запишем уравнение единичной окружности в параметрическом виде: z=eit(0£t£2p).

2. Подставим z=eit в соотношение w=z2: w=ei2t=cos2t+isin2t. Следовательно, |w|2=cos22t+sin22t=1, то есть |w|=1 – уравнение образа. ■

Пример . Найти уравнение образа прямой у=х при отображении w=z3.

■ Так как кривая задана в явном виде, то применим правило 3.3.

1. w=z3=(x+iy)3=x3+3x2iy+3x(iy)2+(iy)3=x3—3xy2+i(3x2y-y3).

Значит,

2. В полученную систему подставим у=х: Исключая х из этих уравнений, получим v=-u.

Итак, образом биссектрисы I и III координатных углов системы хОу является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv. ■

1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

w=az+b, (4.1)

где а, b— комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga, а растяжение во всех точках равно . Если a=1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b. Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

w1=rz— подобие с коэффициентом r=|a|;

w2=eijw1=rzeij — поворот на угол j=arga вокруг точки О;

w=w2+b=reijz+b — параллельный перенос на вектор .

Следовательно, отображение w=az+b изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в |a| раз, поворачивает эту фигуру на угол j=arga вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора на его величину.

Линейное отображение обладает круговым свойством, то есть переводит окружности z-плоскости в окружности w -плоскости (и обратно); прямые переводит в прямые.

Пример.Найти образ оси Оу при отображении w=2iz-3i.

■ 1 способ (по правилу 3.4). Уравнение оси выберем в параметрической форме.

1. Так как в действительной форме уравнение оси Oy: x=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран у.

2. Подставим z=iy в выражение w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (у – параметр). Выделив действительную и мнимую часть, получим уравнение образа в действительной форме: u=-2y, v=-3 или v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, параллельной действительной оси.

2 способ. Используем круговое свойство линейного преобразования – образом прямой является прямая. Так как прямая определяется заданием двух точек, то достаточно на оси Оу выбрать любые две точки и найти их образы. Прямая, проходящая через найденные точки, и будет искомой. Выберем точки z1=0, z2=i, их образы w1=-3i, w2=-2-3i при отображении лежат на прямой Imw=-3.Следовательно, образом оси Оу является прямая v=-3.

3 способ (геометрический). Из соотношения w=2iz-3i следует, что a=2i, b=-3i, |a|=2, . Значит, заданную прямую (ось Оу) надо повернуть на угол относительно начала координат, а затем сместить на 3 единицы вниз. Растяжение в 2 раза не меняет геометрического вида исходной линии, так как она проходит через начало координат. ■

Пример. Найти какую-нибудь линейную функцию, отображающую окружность |z-i|=1 на окружность |w-3|=2.

■ Поставленная задача есть обратная задача теории отображений – по заданному образу и прообразу найти соответствующее отображение. Без дополнительных условий задача не имеет единственного решения. Приведем геометрический способ решения.

1. Переместим центр окружности в начало координат. Для этого применим отображение w1=z-i.

2. В плоскости w1 применим отображение, дающее растяжение в 2 раза, то есть w2=2w1.

3. Смещаем окружность на 3 единицы вправо: w=w2+3. Окончательно получаем: w=2(z-i)+3, w=2z+3-2i – искомая функция.

Можно выбрать другой порядок выполнения геометрических операций – сделать сначала не смещение, а поворот или растяжение. ■

2. Дробно-линейная функция

Дробно-линейной называется функция вида

, (4.2)

где a, b, c, d — комплексные числа, такие что , .

Свойства дробно-линейного преобразования

1° Конформность

Отображение w=L(z) является конформным во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме .

2° Круговое свойство

Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w=L(z) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность). Несложно установить, что при отображении w=L(z) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w), а все прямые или окружности, не проходящие через точку d, — в окружности плоскости (w).

3° Инвариантность двойного отношения

Отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек. Таким образом, дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех точек и их образов: . По этим парам можно найти дробно-линейную функцию по формуле:

. (4.3)

Эту формулу можно применять и в случае, когда некоторые из чисел zk и wk обращаются в ¥, если воспользоваться правилом: разность, в которой встречается символ ¥, следует заменить на 1.

4° Сохранение симметрии

Если точки z1 и z2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности g, то при любом дробно-линейном отображении w=L(z) их образы w1 и w2 будут симметричны относительно образа g: .

Симметрия относительно прямой понимается в обычном смысле.

Точки z и z* называются симметричными относительно окружности |z-z0|=R, если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату ее радиуса, то есть

|z-z0|×|z*-z0|=R2. (4.4)

Точкой, симметричной точке z0 – центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.

5° Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)

Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность g переходит в прямую или окружность g¢ ,то область D, которую ограничивает g, преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает g¢. При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии g область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии g¢ область D¢ тоже должна оказаться слева (справа).

Пример.Найти дробно-линейную функцию w=L(z), такую, что w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1)=¥.

■ Обозначим z1=i, z2=¥, z3=-1 и w1=2i, w2=1, w3=¥. Применим формулу (4.3), заменяя разности, содержащие z2 и w3 на ¥:

или .

Преобразуем: —w-wi+2i-2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+i Û — искомая функция. ■

Пример.Найти образ области D: при отображении .

■ Область D есть пересечение полуплоскости и внешности круга — полуплоскость Rez<1 с выброшенным кругом.

Применим правило 3.5 (1 способ).

1. Вначале найдем образ границы области D, которая состоит из двух линий, задаваемых уравнениями Rez=1 и . Так как обе линии проходят через особую точку z=1, то их образами будут прямые. Для каждой линии решаем задачу по правилу 3.4.

а) Найдем образ прямой Rez=1.

Запишем уравнение в комплексной форме: .

Выразим z из уравнения : wz-w=iz Û z(w-i)=w Û .

Тогда . Подставим эти значения в уравнение :

.

То есть образом прямой Rez=1 при заданном отображении является прямая Imw=1, параллельная действительной оси.

б) Найдем образ окружности .

Запишем уравнение окружности в виде |2z-1|=1.

Выразим z из уравнения и подставим в уравнение |2z-1|=1. Получаем . Это равенство определяет множество точек комплексной плоскости, равноудаленных от точек i и –i. Этим множеством является прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему точки i и –i, и проходящая через его середину, то есть действительная ось Imw=0.

В результате получили, что образ границы области D состоит из двух прямых Imw=1 и Imw=0.

2. Теперь в соответствии с п.2. правила 3.5 выберем произвольную точку, например, z=-1ÎD. Ее образом при заданном отображении является , лежащая между прямыми Imw=1 и Imw=0. Следовательно, образом заданной области будет полоса 0< Imw<1. ■

3. Показательная функция

Показательной функцией комплексного переменного z=x+iy называется функция, обозначаемая expz (читается «экспонента z») и определяемая формулой

.

Свойства expz

1° Если , то expz=expx=ex, т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Поэтому наряду с обозначением expz используют также обозначение ez.

2° (теорема сложения) .

3° .

4° .

.

5° expz — периодическая функция с основным периодом 2pi, т.е.

exp(z+2pi)=expz.

6° Если так, что , то .

Если так, что , то .

Поэтому не существует.

7°expz — многолистная функция. Областями однолистности показательной функции являются полосы шириной не больше 2p, параллельные действительной оси:

.

Если, например, , то .

8° Показательная функция является аналитической на , (expz)¢=expz.

Пример.Найти действительную, мнимую часть, модуль и главное значение аргумента для числа e2-i.

■ Используем определение показательной функции комплексного переменного. Пусть z=2-i, x=Rez=2, y=Imz=-1.

Тогда . Следовательно,

, .

Можно также вместо определения использовать теорему сложения и формулу Эйлера (1.7). ■

Отображение w=expz