Какую работу совершает сила при растяжении пружины
Решение. По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению — страница №1/1
2.Работа переменной силы.
Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины.
Пример1: Какую работу совершает сила в 10Н при растяжении пружины на 2см?
Решение. По закону Гука сила F , растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины , т.е. F=kx.
Используя условие , находим , т.е. F=500x.
Согласно формуле, получим
.
Упражнение:
-
Какую работу совершает сила в 8Н при растяжении пружины на 6см?
-
Какую работу совершает сила в 20Н при растяжении пружины на 4см?
Пример 2.Сила в 60Н растягивает пружину на 2см. Первоначальная длина пружины равна 14см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20см?
Решение:
Имеем и, следовательно , F=3000x. Так как пружину требуется растянуть на 0.06м, то
.
Упражнения:
3.Сила в 40Н растягивает пружину на 0.04м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0.02м?
-
Для сжатия пружины на 3см необходимо совершить работу в 16Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144Дж?
5. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 20см. Сила в 9.8Н растягивает ее на 2см. Определить работу, затраченную на растяжение пружины от 25см до 35см.
3. Давление жидкости.
Величина силы Р давления жидкости в ньютонах на
горизонтальную площадку вычисляется по формуле
где — плотность жидкости в , s –
площадь площадки в , h – глубина погружения площадки в м. Рассмотрим задачу определения давления жидкости на
вертикальную площадку.
Пример1: Треугольная пластинка с основанием 0.3 м и высотой 0.6 м погружена вертикально в воду так, что е вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку.
Решение:
Разобьем пластинку на n тонких полосок. На глубине x выделим одну из них и обозначим через ее ширину. Приняв полоску за прямоугольник, найдем ее площадь :
Из подобия треугольников АВС и КВМ имеем::
откуда КМ=1/2х. Следовательно,
Суммируя элементарные давления на каждую из полосок и неограниченно увеличивая число делений n, найдем значение силы Р давления жидкости на всю пластинку:
Таким образом.
Пример2: Определить силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20м, а высота 5м. (считая шлюз доверху заполненным водой)
Решение:
Упражнения:
1. Вычислить силу давления воды на вертикальную прямоугольную пластинку, основание которой 30м, а высота 10м, причем верхний конец пластинки совпадает с уровнем воды.
2. Вычислить силу давления воды на вертикальную прямоугольную пластинку, основание которой 16м, а высота 24м, причем верхний конец пластинки находится на 10см ниже свободной поверхности воды.
3. Треугольная пластинка с основанием 0.9м и высотой 0.12 м погружена вертикально в воду так, что е вершина лежит на 0.03м ниже поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку.
4. Вычисление работы против сил межмолекулярного притяжения.
— внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул.
Пример1: Некоторый газ количеством вещества 1 кмоль занимает объем . При расширении газа до объема была совершена работа А против сил межмолекулярного притяжения, равная 45,3 кДж. Определить поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
Дано: Определить: а
Решение.
Упражнение: 1. Кислород, массой 100г расширяется от объема 5л до объема 10л. Определить работу межмолекулярных сил притяжения при этом растяжении. Поправку а взять из примера 1.
2. Некоторый газ количеством вещества 0,25 кмоль занимает объем . При расширении газа до объема была совершена работа А против сил межмолекулярного притяжения, равная 1,42 кДж. Определить поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
5. Сила и плотность электрического тока.
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Пример: Сила тока в проводнике сопротивлением R=50Ом равномерно растет от за время Определить выделившееся за это время количество теплоты.
Дано:
Определить: Q
Решение: Согласно закону Джоуля – Ленца для бесконечно малого промежутка времени,
По условию задачи сила тока равномерно растет, т.е. I=kt, где к – коэффициент пропорциональности
Тогда (1)
Проинтегрировав (1) и подставив выражение для k, найдем искомое количество теплоты:
Вычисляя получим Q=900 Дж.
Упражнение: 1. Сила тока в проводнике сопротивлением R=120Ом равномерно растет от за время Определить выделившееся за это время количество теплоты.
2. Сила тока в проводнике сопротивлением R=100Ом равномерно убывает от за время Определить выделившееся за это время количество теплоты.
Источник
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока:
- обобщить и закрепить ключевые задачи по теме;
- научиться работать с теоретическими вопросами
темы; - научиться применять интеграл к решению
физических задач.
План урока:
1. Схема решения задач на приложения
определенного интеграла
2. Нахождение пути, пройденного телом при
прямолинейном движении
3. Вычисление работы силы, произведенной при
прямолинейном движении тела
4. Вычисление работы, затраченной на растяжение
или сжатие пружины
5. Определение силы давления жидкости на
вертикально расположенную пластинку
Тип урока: интегрированный.
Воспитательная работа: расширение
кругозора и познавательной деятельности
учащихся, развитие логического мышления и умения
применять свои знания.
Техническое обеспечение:
интерактивная доска. Компьютер и диск.
Приложение: «Рапсодия
природы».
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Постановка цели урока
– Урок хотелось бы провести под девизом
Готфрида Вильгельма Лейбница – немецкого философа,
логика,
математика,
физика:
«Общее искусство знаков представляет чудесное
пособие, так как оно разгружает воображение…
Следует заботиться о том, чтобы обозначения были
удобны для открытий. Обозначения коротко
выражают и отображают сущность вещей. Тогда
поразительным образом сокращается работа
мысли».
III. Повторим основные понятия и
ответим на вопросы:
– Скажите основное определение интеграла?
– Что вы знаете о интеграле (свойства, теоремы)?
– Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с
применением интеграла?
IV. Объяснение нового материала
(рассмотрение теории):
1. Схема решения задач на приложения
определенного интеграла
С помощью определенного интеграла можно решать
различные задачи физики, механики и т. д., которые
трудно или невозможно решить методами
элементарной математики.
Так, понятие определенного интеграла
применяется при решении задач на вычисление
работы переменной силы, давления жидкости на
вертикальную поверхность, пути, пройденного
телом, имеющим переменную скорость, и ряд других.
Несмотря на разнообразие этих задач, они
объединяются одной и той же схемой рассуждений
при их решении. Искомая величина (путь, работа,
давление и т. д.) соответствует некоторому
промежутку изменения переменной величины,
которая является переменной интегрирования. Эту
переменную величину обозначают через Х, а
промежуток ее изменения – через [а, b].
Отрезок [a, b] разбивают на n равных частей, в
каждой из которых можно пренебречь изменением
переменной величины. Этого можно добиться при
увеличении числа разбиений отрезка. На каждой
такой части задачу решают по формулам для
постоянных величин.
Далее составляют сумму (интегральную сумму),
выражающую приближенное значение искомой
величины. Переходя к пределу при , находят искомую величину
I в виде интеграла
I = , где f(x)
– данная по условиям задачи функция (сила,
скорость и т. д.).
2. Нахождение пути, пройденного телом при
прямолинейном движении
Как известно, путь, пройденный телом при
равномерном движении за время t, вычисляется по
формуле S = vt.
Если тело движется неравномерно в одном
направлении и скорость его меняется в
зависимости от времени t, т. е. v = f(t), то для
нахождения пути, пройденного телом за время от до , разделим этот
промежуток времени на n равных частей Δt. В каждой
из таких частей скорость можно считать
постоянной и равной значению скорости в конце
этого промежутка. Тогда пройденный телом путь
будет приблизительно равен сумме , т.е.
Если функция v(t) непрерывна, то
Итак,
3. Вычисление работы силы, произведенной
при прямолинейном движении тела
Пусть тело под действием силы F движется по
прямой s, а направление силы совпадает с
направлением движения. Необходимо найти работу,
произведенную силой F при перемещении тела из
положения a в положение b.
Если сила F постоянна, то работа находится по
формуле
(произведение силы на длину пути).
Пусть на тело, движущееся по прямой Ох,
действует сила F, которая изменяется в
зависимости от пройденного пути, т. е. . Для того чтобы найти
работу, совершаемую силой F на отрезке пути от а
до b, разделим этот отрезок на n равных частей
. Предположим,
что на каждой части сила сохраняет постоянное значение
Составим интегральную сумму, которая
приближенно равна значению произведенной
работы:
т.е. работа, совершенная этой силой на участке
от а до b, приближенно мала сумме:
Итак, работа переменной силы вычисляется по
формуле:
4. Вычисление работы, затраченной на
растяжение или сжатие пружины
Согласно закону Гука, сила F, необходимая для
растяжения или сжатия пружины, пропорциональна
величине растяжения или сжатия.
Пусть х – величина растяжения или сжатия
пружины. Тогда ,
где k – коэффициент пропорциональности,
зависящий от свойства пружины.
Работа на участке выразится формулой , а вся затраченная работа или . Если то погрешность величины
работы стремится к нулю.
Для нахождения истинной величины работы
следует перейти к пределу
Итак,
5. Определение силы давления жидкости на
вертикально расположенную пластинку
Из физики известно, что сила Р давления
жидкости на горизонтально расположенную
площадку S, глубина погружения которой равна h,
определяется по формуле:
, где – плотность жидкости.
Выведем формулу для вычисления силы давления
жидкости на вертикально расположенную пластинку
произвольной формы, если ее верхний край
погружен на глубину a, а нижний – на глубину b.
Так как различные части вертикальной пластинки
находятся на разной глубине, то сила давления
жидкости на них неодинаковa. Для вывода формулы
нужно разделить пластинку на горизонтальных
полос одинаковой высоты . Каждую полосу приближенно
можно считать прямоугольником (рис.199).
По закону Паскаля сила давления жидкости на
такую полосу равна силе движения жидкости на
горизонтально расположенную пластинку той же
площади, погруженной на ту же глубину.
Тогда согласно формуле (4) сила давления на
полосу, находящуюся на расстоянии х от
поверхности, составит , где
– площадь полосы.
Составим интегральную сумму и найдем ее предел,
равный силе давления жидкости на всю пластинку:
т.е.
Если верхний край пластинки совпадает с
поверхностью жидкости, то а=0 и формула (5) примет
вид
Ширина каждой полосы зависит от формы
пластинки и является функцией глубины х
погружения данной полосы.
Для пластинки постоянной ширины формула (5)
упрощается, т.к. эту постоянную можно вынести за
знак интеграла:
V. Разбор задач по теме
1) Скорость движения материальной точки
задается формулой = (4 м/с.
Найти путь, пройденный точкой за первые 4с от
начала движения.
Решение:
2) Скорость движения изменяется по закону м/с . Найти длину
пути, пройденного телом за 3-ю секунду его
движения.
Решение:
3) Скорость движения тела задана уравнением м/с. Определить
путь, пройденный телом от начала движения до
остановки.
Решение:
Скорость движение тела равна нулю в момент
начала его движения и остановки. Найдем момент
остановки тела, для чего приравняем скорость
нулю и решим уравнение относительно t; получим
Следовательно,
4) Тело брошено вертикально вверх со скоростью,
которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту
подъема.
Решение:
Найдем время, в течении которого тело
поднималось вверх: 29,4–9,8t=0 (в момент наибольшего
подъема скорость равна нулю); t = 3 с. Поэтому
5) Какую работу совершает сила в 10Н при
растяжении пружины на 2 см?
Решение:
По закону Гука сила F, растягивающая пружину,
пропорциональна растяжению пружины , т.е. F = kx.
Используя условие, находим (Н/м), т.е. F = 500x. Получаем
6) Сила в 60Н растягивает пружину на 2 см.
Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую
работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20
см?
Решение:
Имеем (H/м) и,
следовательно, F=3000x. Так как пружину требуется
растянуть на 0,06 (м), то
7) Определить силу давления воды на стенку
шлюза, длина которого 20 м, а высота 5 м (считая шлюз
доверху заполненным водой).
Здесь y = f(x) = 20, a = 0, b = 5 м, кг/.
Находим
8) В воду опущена прямоугольная пластинка,
расположенная вертикально. Ее горизонтальная
сторона равна 1 м, вертикальная 2 м. Верхняя
сторона находится на глубине 0,5 м. Определить
силу давления воды на пластинку.
Решение:
Здесь y = 1, a = 0,5, b = 2 + 0,5 = 2,5 (м), = 1000 кг/. Следовательно,
9) Скорость прямолинейного движения точки
задана уравнением . Найти уравнение движения точки.
Решение:
Известно, что скорость прямолинейного движения
тела равна производной пути s по времени t, т.е. , откуда ds = v dt.
Тогда имеем
Это искомое уравнение.
10) Скорость тела задана уравнением . Найти уравнение
движения, если за время тело прошло путь .
Решение:
Имеем ds = v dt = (6+ 1) dt; тогда
Подставив в найденное уравнение начальные
условия s = 60 м, t = 3 c, получим
откуда С = 3.
Искомое уравнение примет вид
11) Тело движется со скоростью м/с. Найти закон движения s(t),
если в начальный момент тело находилось на
расстоянии 5 см от начала отсчета.
Решение:
Так как ds = v dt = (, то
Из условия следует, что если t = 0, то s = 5 см = 0,05 м.
подставив эти данные в полученное уравнение,
имеем откуда
0,05 = С.
Тогда искомое уравнение примет вид
12) Вычислить силу давления воды на плотину,
имеющую форму трапеции, у которой верхнее
основание, совпадающее с поверхностью воды,
имеет длину 10 м, нижнее основание 20 м, а высота 3 м.
Решение:
13) Цилиндрический стакан наполнен ртутью.
Вычислить силу давления ртути на боковую
поверхность стакана, если его высота 0,1 м, а
радиус основания 0,04 м. Плотность ртути равна 13600
кг/.
Решение:
Вычислим площадь круглой полоски
Элементарная сила давления составляет
Следовательно
VI. Самостоятельное решение задач на доске,
коллективный разбор решений задач:
- Скорость движения тела задана уравнением . Найти уравнение
движения, если в начальный момент времени - Найти уравнение движения точки, если к моменту
начала отсчета она прошла путь , а его скорость задана
уравнением - Скорость движения тела пропорциональна
квадрату времени. Найти уравнение движения тела,
если известно, что за 3 с оно прошло 18 м. - Тело движется прямолинейно со скоростью м/с. Найти путь,
пройденный телом за 5 с от начала движения. - Скорость движения тела изменяется по закону м/с. Найти путь,
пройденный телом за 4 с от начала движения. - Найти путь пройденный телом за 10-ю секунду, зная,
что что скорость его прямолинейного движения
выражается формулой м/с. - Найти путь, пройденный точкой от начала
движения до ее остановки, если скорость ее
прямолинейного движения изменяется по закону м/с. - Какую работу совершает сила в 8 Н при растяжении
пружины на 6 см? - Сила в 40 Н растягивает пружину на 0,04 м. Какую
работу надо совершить, чтобы растянуть пружину
на 0,02 м? - Вычислить силу давления воды на вертикальную
прямоугольную пластинку, основание которой 30 м, а
высота 10 м, причем верхний конец пластинки
совпадает с уровнем воды. - Вычислить силу давления воды на одну из стенок
аквариума, имеющего длину 30 см и высоту 20 см.
VII. Минутка релаксации
Запуск приложения «Минутка
релаксации»
VIII. Подведение итогов урока:
– Каким вопросам был посвящен урок?
– Чему научились на уроке?
– Какие теоретические факты обобщались на уроке?
– Какие рассмотренные задачи оказались наиболее
сложными? Почему?
Список литературы:
- Журнал «Потенциал»
- «Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М.
Никольский, М.К. Потапов и др. - «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин
и др. - «Учебник по математическому анализу» Град О.Г.,
Змеев О.А. - «Высшая математика: Учебник для вузов». В 3
томах. Бугров Я.С. Никольский С.М. - «Математический анализ». Е.Б. Боронина
Источник
КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Решение. Согласно закону Гука, сила F, растягивающая или сжимающая пружину на х метров, равна kx, где k – коэффициент пропорциональности. Из условия следует, что 10=k∙0,01, т.е. k=1000, и, значит, F=kx=1000x. Теперь по формуле (6) найдем искомую работу:
А= (Дж).
Сила давления жидкости.Пусть пластинка в виде криволинейной трапеции погружена вертикально в жидкость с плотностью ρ так, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся ниже уровня на расстояниях а и b. Для нахождения силы давления жидкости на пластинку разобьем ее на n малых горизонтальных полосок прямыми, параллельными оси Оу и проходящими через точки х0=а, х1, …, хn-1, хn=b. Выделим одну из полосок, находящуюся на глубине хi. Для такой достаточно узкой полоски давление во всех ее частях можно приближенно считать одинаковым, а саму полоску принять за прямоугольник с высотой ∆ хi=(b-a)/n. Длина основания этого прямоугольника есть некоторая функция от х, которую обозначим f(x). Согласно закону Паскаля, сила давления Рi на i-ю полоску составляет Pi=ρgf(хi) хi∆ хi,
а сила давления жидкости на всю пластинку вычисляется по формуле
P=ρg , (7)
Пример 5.Пластинка, имеющая форму треугольника с основанием 4см и высотой 3см, погружена вертикально в воду. Вычислить силу давления на эту пластинку, если ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей (рис.8)
Решение. Здесь а=0, b=ВЕ=0,03м, АС=0,04м, ρ=1000кг/м3. Пусть DF-ширина пластинка на уровне ВК=х. из подобия ∆АВС и ∆DBF находим
DF= ,
Подставляя все данные в формулу (7), получим
Р=1000∙9,81
Задания
Вариант1
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми х = -3 и х = 2 и осью Ох.
2. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=2 (м/с). Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от t1=0с до t2=5с.
3. Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью м/с, второе – со скоростью v =(6t+12) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?
4. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,08 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10Н.
5. Вычислите силу давления воды на вертикальную прямоугольную стенку с основанием 2м и высотой 4м. Уровень воды совпадает с верхним обрезом стенки.
Вариант2
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и х =2
2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислите ее путь за 3 с от начала движения.
3. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10с?
4. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,03 м нужна сила 15Н.
5. Вычислите силу давления воды на вертикальную прямоугольную стенку с основанием 10м и высотой 5м. Уровень воды совпадает с верхним обрезом стенки.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
2. Напишите формулу для вычисления объема тела, полученной вращением фигуры вокруг оси Ох.
3. Напишите формулу для вычисления работы силы.
4. Напишите формулу для вычисления пути, пройденного телом.
Дата добавления: 2015-07-13; Просмотров: 6067; Нарушение авторских прав?
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Рекомендуемые страницы:
Источник