Как сделать растяжение графика
Анна Малкова
В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
1. Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика. Или сжатие.
2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если
3. Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если
И отражение по горизонтали.
4. Отражение по горизонтали
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
5. Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.
И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.
6. Графики функций и
На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.
Вот самые простые задачи на преобразование графиков.
1. Построим график функции
Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.
Вершина в точке
2. Построим график функции
Выделим полный квадрат в формуле.
График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.
Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка
Продолжение — в статье «Построение графиков функций».
Источник
Список функций, изученных в 7 и 8 классе
Функция | Формула | График | Раздел справочника |
Прямая пропорциональность | y = kx | Прямая | 7 кл., §37 |
Линейная функция | y = kx+b | Прямая | 7 кл., §38-39 |
Обратная пропорциональность | $ y = frac{k}{x} $ | Гипербола | 8 кл., §6 |
Квадрат числа | $ y=x^2$ | Парабола | 8 кл., §18 |
Квадратный трёхчлен | $ y = ax^2+bc+c$ | Парабола | 8 кл., §28-29 |
Квадратный корень | $ y = sqrt{x}$ | Парабола | 8 кл., §22 |
Растяжение и сжатие графика по оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$
где $p gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть p = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $ $y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f(2x) = frac{4}{(2x)} = frac{2}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1 $ График сжимается в 2 раза по оси OX |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f(2x) = sqrt{2x}$ $y_2=y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX |
|
Теперь сравним пары функций с делением на p:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f left( frac{x}{p} right), quad p gt 1 $$
Пусть p = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f left(frac{x}{2}right) = left(frac{x}{2}right)^2 = frac{x^2}{4} $ $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = frac{4}{x/2} = frac{8}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = sqrt{frac{x}{2}}$ $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
|
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(px), quad p gt 1 $$
график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f Biggl(frac{x}{p}Biggr), quad p gt 1 $$
график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Растяжение и сжатие графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x) $$
где $A gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть A = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = 2f(x) = 2x^2 $ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = 2f(x) = frac{8}{x}$ $ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = 2f(x) = 2sqrt{x}$ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |
|
Теперь сравним пары функций с делением на A:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
Пусть A = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{x^2}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{2}{x}$ $ y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{sqrt{x}}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |
|
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x), quad A gt 1 $$
график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = sqrt{x}, y = sqrt{3x}, y = sqrt{frac{x}{3}}, y = 3sqrt{x} $$
Сделайте выводы.
По сравнению с графиком $y = sqrt{x}$:
- график функции $y = sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
- график функции $y = sqrt{frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
- график функции $y = 3sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)
Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = f(x), y = f(2x), y = f Biggl(frac{x}{2}Biggr), y = 2f(x) $$
где $f(x) = x^2+3x+2$
Сделайте выводы.
Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$
Остальные функции
$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$
$$ y = fBiggl(frac{x}{2}Biggr) = Biggl(frac{x}{2}Biggr)^2+3 cdot Biggl(frac{x}{2}Biggr) +2 = frac{x^2}{4}+ frac{3}{2} x+2 $$
$$ y = 2f(x) = 2x^2+6x+4 $$
Получаем:
По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:
- график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
- график функции $y = f left(frac{x}{2}right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
- график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)
Рейтинг пользователей
50
timoelena
50
mmm_777
50
daria.sergutina
50
Елена Муравьева
50
Антон Антонов
Источник
Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она… мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, — линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.
Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».
Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».
Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».
Темы для повторения:
Понятие функции
Типы элементарных функций
Преобразования графиков функций
Производная функции
1. Построим график функции
Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.
Упростим формулу функции:
при
График функции — прямая с выколотой точкой
2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции
Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.
3. Построим график функции
Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали
4. Построим график функции
Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:
Действуем по порядку:
1) График функции y=sinx сдвинем на влево;
2) сожмем в 2 раза по горизонтали,
3) растянем в 3 раза по вертикали,
4) сдвинем на 1 вверх
Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».
5. Построим график функции
Область определения функции:
Нули функции: и
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)
Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.
Раскроем скобки в формуле функции:
Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.
6. Построим график функции
Это дробно-рациональная функция.
Область определения функции
Нули функции: точки — 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты:
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.
Вот эскиз графика:
Еще один интересный прием — сложение графиков.
7. Построим график функции
Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте
Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:
Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!
8. Построим график функции
Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен
Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при
При , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно
9. Построим график функции
Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.
Нули функции — в точках, где то есть при
Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?
Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».
А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.
10. Построим график функции
Область определения функции — все действительные числа, поскольку
Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.
При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.
Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.
Найдем производную функции
По формуле производной частного,
если или
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.
Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.
Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?
Общая схема построения графика функции:
1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Четность — нечетность (если есть)
4. Периодичность (если есть)
5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)
6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).
7. Асимптоты (если есть).
8. Поведение функции в бесконечности
9. Производная функции
10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.
Источник
Преобразования
графиков функций – это линейные преобразования функции y
= f(x) или её аргумента х к виду
y
= af(kx
+ b) + m,
а так же
преобразование с использованием модуля.
Зная,
как строить графики функции y =
f(x), где
y
= kx + b,
y
= ax2,
y
= xn,
y
= k/x,
y
= ax,
y
= logax,
можно
построить график функции
y
= af(kx
+ b) + m.
ОБЩИЙ ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Параллельный
перенос графика вдоль оси абсцисс на |b| единиц.
y
= f(x–
b)
вправо,
если b ˃ 0;
влево,
если b < 0.
y
= f(x+
b)
влево,
если b ˃ 0;
вправо,
если b < 0.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
(х + 2)3.
Построим график функции у =
х3 и
параллельно перенесём его влево на 2 единицы вдоль оси х (так как 2 ˃ 0). Получим график
функции
у = (х + 2)3.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
(х – 3)2.
Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 3 единицы вдоль оси х (так как –3 < 0). Получим график
функции
у =
(х – 3)2.
Параллельный
перенос графика вдоль оси ординат на |m| единиц.
y
= f(x) + m
вверх,
если m ˃ 0;
вниз,
если m < 0.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
х2 – 5.
Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вниз на 5 единиц вдоль оси у (так как –5 < 0). получим график
функции
у =
х2 – 5.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
√͞͞͞͞͞х + 4.
Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х и параллельно перенесём его вверх на 4 единицы
вдоль оси у (так как
4 ˃ 0). Получим график функции
у =
√͞͞͞͞͞х + 4.
Отражение
графика.
y
= f(–x)
Симметричное
отражение графика относительно оси ординат.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
–х + 3.
Построим график функции у =
х + 3 и отобразим
полученный график симметрично относительно оси
у и получим график
функции
у =
–х + 3
y
= –f(x)
Симметричное
отражение графика относительно оси абсцисс.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
–(х – 3)2.
Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 3 единицы вдоль оси х (так как –3 < 0). получим график
функции
у =
(х – 3)2.
отобразим полученный график симметрично относительно
оси х и получим
график функции
у =
–(х – 3)2.
Сжатие
и растяжение графика.
y
= f(kx)
При k ˃ 1 –
сжатие графика к оси ординат в k раз,
при 0 < k<
1 – растяжение графика от оси ординат в k раз,
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
(3х)2.
Построим график функции у =
х2. Выполним
сжатие графика функции в три раза до оси у и получим
график функции
у =
(3х)2.
ПРИМЕР:
Построить график функции
Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х. Выполним
растяжение графика функции в 1/3 от оси
у и получим график
функции
y
= kf(x)
При k ˃ 1 –
растяжение графика от оси абсцисс в k раз,
при 0 < k<
1 – сжатие графика к оси абсцисс в k раз.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
3√͞͞͞͞͞х.
Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х .
Выполним
растяжение графика функции в три раза относительно оси х и получим
график функции
у =
3√͞͞͞͞͞х.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
1/3 х3.
Построим график функции у =
х3. Выполним
сжатие графика функции у = х3 в три раза к оси х и получим
график функции
у =
1/3 х3.
Преобразования
графика с модулем.
у = |f(x)|
При f(x)
˃ 0 – график остаётся без изменений,
при f(x) <
0 – график симметрично отражается
относительно оси абсцисс.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
|х2 – 6|
Построим график функции у = х2. Параллельно переносимо график вниз на 6 единиц
вдоль оси у и получим график функции
у =
х2 – 6.
Отобразим симметрично относительно оси х ту
часть графика, которая находится под осью, и получим график функции
у =
|х2 – 6|
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
|х3|
Отобразим симметрично относительно оси х ту
часть графика, которая находится под осью, и получим график функции
у =
|х3|
у =f(|x|)
При x ≥ 0 – график остаётся без изменений,
при x < 0 – график симметрично отражается относительно оси ординат.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
(|x| – 1)2.
Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 1 единицы вдоль оси х и получим график
функции
у =
(х – 1)2.
Оставляем ту часть графика, которая соответствует
неотрицательным значением х. Симметрично
отображаем относительно оси у часть полученного графика для неотрицательных
х и получаем график
функции
у
= (|x|
– 1)2.
ПРИМЕР:
Построить график функции
у =
5|x| – 3.
Построим график функции у =
5х и
параллельно перенесём его вниз на 3 единицы вдоль оси у и
получим график функции
у =
5x – 3.
Оставим ту часть графика, которая соответствует
неотрицательным значениям х.
Симметрично отобразим относительно оси у часть полученного графика для неотрицательных х и получим
график функции
у =
5|x| – 3.
Источник