Как найти угол поворота и коэффициент растяжения

Решение . Функция представляет из себя отношение двух полиномов. Поэтому она голоморфна всюду в С, за исключением точки, в которой знаменатель обращается в ноль – это точка z = – i. Значит в точке , исследуемая функция имеет производную. Найдем ее.

; .

Следовательно, . Поэтому коэффициент растяжения будет равен 10 а угол поворота p.

Пример 4.2. Найти Является ли функция w=f(z)=f(x+iy) дифференцируемой в смысле R2 по переменным x, y , и дифференцируемой в смысле C по переменной z? Опишите области дифференцируемости

Решение . Представим заданную функцию w = f(z), где z = x + iy в виде

w = u(x, y) + iv(x, y). Проверим ее на дифференцируемость и аналитичность. В нашем случае w = f(z) = e1- iz. Определим вещественную и мнимую составляющие нашей функции. Для этого подставим число z = x + iy в выражение нашей функции и проведем необходимые действия, учитывая, что i2 = –1.

Используем обозначение

f(z) = e1- i(x + iy) = e1- ix + y = e1+ y — ix

+i( )

Следовательно, вещественная и мнимая части функции f(z) имеют вид

Re(f(z)) = u(x, y) =

Im(f(z)) = v(x, y) =

Теперь найдем всевозможные частные производные вещественной и мнимой частей нашей функции.

, ,

, .

Таким образом условия Коши-Римана

для функции f(z) выполняются для всех точек комплексной плоскости С. Значить функции f(z) комплексно дифференцируема во всей комплексной плоскости С А так как С является открытым и связным множеством, т.е. областью, то следовательно всюду в С функция f(z) аналитична.

Вычисление производной функции f(z), с учетом этих условий можно провести по любой из формул

В нашем случае

Физические приложения

Так как вещественная часть u(x,y) аналитической функции есть функция гармоническая, то, как известно из курса векторного анализа, она может быть представлена как потенциал плоского поля. Следовательно, уравнение u(x,y) = c – const есть уравнение линий равного потенциала (эквипотенциальных линий). Нетрудно показать, что семейство v(x,y) = c – const, где v(x,y) – мнимая часть аналитической функции, есть семейство кривых, ортогональных линиям u(x,y) = c . Но тогда v(x,y) = c–const есть силовые линии поля. Таким образом, всякая аналитическая функция дает картину плоского поля, электрического или магнитного, гидродинамического или теплового. Эта функция и называется, обычно комплексным потенциалом или характеристической функцией данного поля. В случае электрического или магнитного поля, если u(x,y) = c – const есть уравнение линий равного потенциала, то v(x,y) = c – const есть силовые линии поля. Напряженность E поля равна , т.е.|E|=|f`(z)| , а Arg E = – (p/2 + (Argf`(z)). Если поле гидродинамическое и u(x,y) = const есть линии равного потенциала скорости, то v(x,y) = const – есть линии тока или траектории частиц жидкости. Величина скорости |V| =|f`(z)| , а направление скорости образует с положительным направлением оси Ох угол равный –argf`(z) В случае теплового поля, если u(x,y) =const есть изотермы, то v(x,y)=const есть линии теплового потока.

Пример 5.1. По заданному комплексному потенциалу плоского теплового поля найти изотермы, линии теплового потока и определить величину скорости потока.

Решение. Найдем реальную, мнимую части и модуль данного комплексного потенциала теплового поля. Комплексный потенциал с помощью тригонометрической формулы двойного угла, которая остается верной в комплексном анализе, можно привести к виду . На основании определения комплексной функции косинус получим:

Во второй строке использовалась формулой Эйлера . В третьей – определением гиперболических функций синуса и косинуса

Поэтому реальная часть комплексного потенциала

а мнимая

Следовательно, модуль комплексного потенциала

В случае теплового поля, –есть изотермы, – есть линии теплового потока.

Величина скорости |V| теплового потока совпадает с модулем производной комплексного потенциала теплового поля

Пользуясь формулой и формулой для модуля w получим:

Дата добавления: 2016-12-05; просмотров: 3832 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Что такое поворотная гомотетия?

Поворотная гомотетия это, как следует из названия, композиция поворота и гомотетии. Удобно смотреть на это с точки зрения векторов на плоскости: при повороте все векторы поворачиваются на один и тот же угол, а при гомотетии растягиваются в одно и то же количество раз. При поворотной гомотетии все векторы поворачиваются и растягиваются, при этом и угол поворота, и коэффициент растяжения у всех векторов одинаковый. Это, в частности, означает, что поворотная гомотетия переводит фигуры в подобные, прямые — в прямые, окружности —в окружности, сохраняя в процессе всевозможные пропорции.

Оказывается у поворотной гомотетии (если она не тривиальная, то есть угол поворота не кратен 360°, а коэффициент растяжения не равен 1) обязательно есть неподвижная точка, называемая центром поворотной гомотетии. Центр легко построить по любой точке A и ее образу A’ — достаточно найти такую точку O, что угол AOA’ равен углу поворота, а отношение A’O/AO равно коэффициенту растяжения.

Отмечу, что коэффициент растяжения у поворотной гомотетии может быть и отрицательным (как у обычной гомотетии), однако этого можно легко избежать, добавив при необходимости к углу поворота 180° (поворот на развернутый угол является центральной симметрией). Композиция поворотных гомотетий, согласно определению, почти всегда является поворотной гомотетией. Исключение составляют лишь те случаи, когда сумма углов поворотов кратна 360°, а произведение коэффициентов равно 1. В этом случае все векторы в результате выполнения композиции сохраняют свои направления и длины, то есть композиция является параллельным переносом.

Как совместить поворотной гомотетией два отрезка?

Предположим, что на плоскости даны два отрезка AB и A’B’ и мы хотим совместить их поворотной гомотетией так, что бы точка A перешла в точку A’, а точка B — в точку B’. Всегда ли это можно сделать? Единственным ли способом? Как найти центр соответствующей поворотной гомотетии?

Есть пара тривиальных случаев. Если отрезки равны и параллельны, то совместить их поворотной гомотетией, конечно, нельзя — роль нужной поворотной гомотетии в этом случае выполняет параллельный перенос. Если отрезки параллельны, но не равны, то очевидно, что можно обойтись обычной гомотетией с центром в точке O пересечения прямых AA’ и BB’ (треугольники OAB и OA’B’ окажутся подобными в виду параллельности прямых AB и A’B’).

Перейдем теперь к общему случаю. Пусть отрезки AB и A’B’ не параллельны, тогда легко определить угол поворотной гомотетии — от в точности равен углу между отрезками (тут правильно было бы говорить «направленному углу»). То есть если прямые AB и A’B’ пересекаются в точке X, то центр поворотной гомотетии O должен удовлетворять равенствам

Опять же равенство, если вы понимаете о чем я, надо воспринимать как равенство направленных углов. Это означает, что центр поворотной гомотетии должен лежать одновременно на описанных окружностях треугольников AXA’ и BXB’. Одна точка пересечения окружностей это точка X. Она годится в качестве центра только в случае подобия треугольников XAA’ и XBB’, то есть в случае параллельности прямых AA’ и BB’ и касания описанных окружностей треугольников AXA’ и BXB’, то есть по сути когда вторая точка пересечения O совпадает с точкой X.

Итак, в реальности претендент на звание центра поворотной гомотетии один — вторая точка пересечения O описанных окружностей треугольников AXA’ и BXB’. Проверим, что она подходит. Из вписанностей углы XAO и XA’O равны и углы XBO и XB’O тоже. Следовательно, треугольники OAB и OA’B’ подобны, поэтому

Итак, центр поворотной гомотетии найден, он существует всегда, кроме вырожденной ситуации, единственен и может быть найден как точка пересечения двух окружностей. Круто!

Важное наблюдение и точка Микеля

Самое поразительное и простое наблюдение, которое можно сделать состоит в том, что если O — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A’B’, то точка O является и центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AA’ в отрезок BB’. Действительно, из подобия треугольников OAB и OA’B’ легко вывести подобие треугольников OAA’ и OBB’, сравнив углы и отношения отрезков с вершиной O.

Но мы же знаем как строится центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AA’ в отрезок BB’ в случае их непараллельности — надо пересечь прямые AA’ и BB’ в точке Y и вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников ABY и A’B’Y, и будет центром поворотной гомотетии.

Какой вывод можно сделать? А вот какой: сразу четыре окружности проходят через одну точку: окружности, описанные около треугольников AA’X, BB’X, ABY и A’B’Y. Это утверждение можно сформулировать следующим образом.

Точка Микеля. Для любых четырех прямых описанные окружности четырех образуемых ими треугольников пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Микеля четырех прямых.

Подробнее говорить о точке Микеля в этой статье я не собирался. Отмечу только, что это очень сильное утверждение, которое, при должном умении и правильном восприятии, позволяет в различных задачах многое сразу видеть на геометрической картинке. Если вы никогда этого утверждения не видели, попробуйте с его помощью доказать факт о прямой Симсона: основания перпендикуляров из точки P на стороны треугольника ABC лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда точка P попадает на описанную окружность треугольника ABC.

Источник

1. Регулярное отображение непрерывно в обе стороны, т.е. достаточно близким точкам при отображении в одну сторону и в другую соответствуют сколь угодно близкие точки.

2. При регулярном отображении внутренние точки области D переходят во внутренние точки области G; граничные точки области D – в граничные точки области G и, наоборот, при обратном отображении.

3. При регулярном отображении кривая отображается в кривую.

4. Абсолютная величина якобиана при регулярном отображении равна пределу отношения меры отображенной области и первоначальной при стягивании их в точку:

d – диаметр области.

Таким образом, – коэффициент растяжения областей или величина искажения масштаба в точке z при отображении с помощью функции

Выведем формулу для нахождения коэффициента:

(по КРЭДу) или .

Тогда, коэффициент растяжения будет равен . (14)

Определение 36.Регулярное отображение области D плоскости (Oxy) на область G плоскости (Оuv) посредством гармонической пары или, что то же самое, аналитической функции, называется конформным, если в каждой точке оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.

Если представить себе плоскости (z) и совмещенными, то каждый малый вектор с вершиной в точке z0 при отображении будет перенесен вершиной в , растянут в k0 раз и повернут на угол α0. Поэтому и вся малая окрестность точки z0 при рассматриваемом отображении испытает поступательный перенос, всестороннее растяжение и поворот. Образ каждой малой фигуры, расположенной в области G, будет, с точностью до малых высшего порядка, геометрически подобен прообразу, т.е. малый круг переходит в круг, а углы между пересекающимися линиями сохраняются.

Лемма. При аналитическом отображении ориентация плоскости сохраняется, т.е. если обходить малый замкнутый контур плоскости (z) в некотором направлении, то и образ будет обходиться в том же направлении. И обратно, если некоторое отображение плоскости сохраняет подобие бесконечно малых фигур (или даже только углы между пересекающимися линиями) и ориентацию плоскости, то это отображение аналитическое.

В связи со сказанным можно дать другое определение конформности:

Определение 37.Взаимно однозначное отображение некоторой плоской области, при котором сохраняются подобие бесконечно малых фигур и ориентация плоскости, называется конформным; если подобие сохраняется, но ориентация меняется на противоположную, то отображение называется антиконформным.

Теорема 8.Отображение посредством аналитической функции конформно при условии, что якобиан .

Рассмотрим подробнее сказанное о сохранении углов и постоянстве растяжений при конформных отображениях.

Пусть – аналитическая функция в области D. Пусть задается взаимно-однозначное отображение области D плоскости (z) на область G плоскости посредством данной аналитической функции. Если точка (x,y) на плоскости (Oxy) описывает некоторую линию Г, расположенную в области D, то соответствующая точка (u,v) на плоскости (Оuv) опишет линию Г /, расположенную в области G (рис. 15).

Линию Г / называют отображением или образом линии Г на плоскость (Оuv) с помощью аналитической функции.

1) О сохранении углов.

Возьмем на линии Г точку (см. рис. 15). Этой точке на линии Г / соответствует точка Проведем к линии Г касательную L в точке (x0, y0), а к линии Г / – касательную в точке

Пусть α – угол, на который нужно повернуть касательную L, чтобы ее направление совпало с направлением прямой , т.е. это угол между касательными к первоначальной и отображенной кривым: .

Можно доказать, что .

Пусть – угол между осью (Ох) и касательной L к кривой Г, тогда /– угол между осью (Оu) и касательной к кривой Г/, угол между L и . Если поворот от L к происходит против часовой стрелки, если поворот от L к происходит по часовой стрелке.

Геометрический смысл аргумента производной:

– (15)

аргумент производной функции в точке геометрически равен углу , на который нужно повернуть касательную L в точке к кривой Г, чтобы получить касательную в точке ω0 к образу этой кривой Г/.

Рассмотрим другую линию γ, также проходящую через точку (x0, y0), и ее отображение – линию , проходящую через точку (рис. 15). Пусть l – касательная к кривой γ в точке (x0, y0), – касательная к кривой в точке

Для того чтобы направление прямой l совпало с направлением прямой надо и в этом случае прямую l повернуть на угол α, т.к. α зависит только от значения производной и не зависит от уравнения кривой.

Вывод 1. Две произвольные линии, пересекающиеся в точке (x0, y0), отображаются посредством функции в две соответствующие линии, пересекающиеся в точке так, что угол β между касательными к данным и между касательными к отображенным линиям один и тот же.

Замечание. Из свойства сохранения углов вытекает, в частности, что линии и плоскости (x,y) образуют два взаимно ортогональных семейства линий. Это дает возможность, задаваясь различными аналитическими функциями , получать разнообразные ортогональные системы координат на плоскости.

2) О постоянстве растяжений.

Рассмотрим коэффициент растяжения k. Пусть аналитическая функция отображает кривую Г1 в кривую γ1, кривую Г2 в кривую γ2, причем точка отображается в точку ω0, , (рис. 16).

Тогда – предел отношения растяжений или .

Замечание. При конформном отображении сохраняется подобие лишь бесконечно малых фигур, тогда как форма конечных фигур может существенно измениться. Например, квадрат плоскости (z), разбитый на 4 квадратика, может отобразиться на криволинейную фигуру с прямыми углами на плоскости (рис. 17). Дело в том, что хотя каждый малый участок плоскости (z) при отображении испытывает всестороннее растяжение и поворот, но для разных участков коэффициенты растяжения и углы поворота различны, что и приводит к такому искажению.

Пусть отрезок АВ посредством аналитической функции отображается в кривую (рис. 18). Тогда коэффициент растяжения – предел отношения длины дуги к длине отрезка. Следовательно, и любой другой отрезок растягивается ровно в k раз в плоскости (Оuv) при этом отображении.

При k > 1 имеет место растяжение, при k < 1 – сжатие.

Ранее вывели, что коэффициент растяжения может быть найден по формуле (14): .

Из теоремы 5 известно, что производная аналитической функции в точке z0 находится по формуле (11): Найдем модуль полученной после дифференцирования ФКП : и сравним полученное выражение с выражением (14). Видно, что . Для существования отображения должно быть , что гарантирует теорема 8, так как .

Геометрический смысл модуля производной:

– (16)

модуль производной функции в точке геометрически равен коэффициенту растяжения в точке при отображении .

Вывод 2. При отображении аналитической функцией наблюдается постоянство растяжений (сжатий), следовательно, отображение, осуществляемое аналитической функцией, конформно.

Определение 38.Функция называется однолистной в области D, если любым различным значениям , взятым из области D, соответствуют различные значения функции . Другими словами, если функция, обратная к , однозначная, то отображение называется однолистным.

Однолистность означает, что при отображении плоскость (z) покрывает плоскость только один раз.

Критерий конформности отображения:Для того чтобы отображение области D, задаваемое функцией , было конформным, необходимо и достаточно, чтобы была однолистной и аналитической в области D функцией, причем всюду в D.

Общий вывод из 1) и 2).Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции состоит в том, что при отображении, осуществляемом этой функцией, удовлетворяющей условию , коэффициент растяжения k определяет коэффициент преобразования подобия бесконечно малого линейного элемента в точке z0 , а α – угол поворота этого элемента.

Пример 26.Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке для отображения

Источник