Как найти коэффициент растяжения

Макеты страниц

102. Процесс вычисления можно значительно упростить, если вместо результирующих усилий в стержнях ввести

в уравнения коэффициенты растяжения. Коэффициент растяжения любого стержня определяется как результирующее усилие в этом стержне, разделенное на его длину Предположим, что рассматриваемый стержень соединяет два узла А и В. Декартовы координаты узлов обозначим через

Составляющая вдоль оси х силы, приложенной в узле очевидно, будет

Последнее равенство имеет место в силу определения коэффициентов растяжения.

Сила, действующая на узел В в том же направлении оси X, будет

скалярная величина. Как легко видеть по двум полученным равенствам, мы ввели обозначение, которое не противоречит самому себе. Если — узлы, связанные с А стержнями, то условие равновесия А запишется:

и два аналогичных уравнения для проекций на оси Через обозначены составляющие внешней силы, приложенной в А.

Уравнения такого типа можно очень легко написать для каждого из узлов данной фермы. Пользоваться декартовыми координатами удобно, потому что величины можно легко снять с обычного чертежа.

После того как уравнения написаны, задача становится чисто алгебраической. Надо решать систему не более чем трех линейных уравнений. Для того чтобы можно было получить коэффициенты растяжения из сил растяжения, или наоборот, мы

должны знать действительные длины стержней. Очевидно, что, например, длина стержня выразится через декартовы координаты узлов следующим образом:

Пример

14. (Camb. M.S.T. 1931) Рис. 34 в общих чертах воспроизводит конструкцию экскаватора. Основание, имеющее форму круга может с помощью шестерни и рейки поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр круга А. Цепь поднимающая ковш, проходит через точку и через свободно вращающийся блок, помещенный в Диаметр основания Точка находится на вертикали над А. Направление отвесно. В заданных условиях ковш в таком положении, что часть цепи наклоненная к вертикали, пересекает горизонтальную плоскость в точке на расстояниях соответственно от прямых и Сила растяжения в цепи всюду Найти силы в стержнях конструкции и крутящий момент в основании Диамстрэм блока в можно пренебречь.

Рис. 34.

[Начало координат поместим в А. Ось проведем в направлении ось в направлении Ось —вверх по вертикали (т. е. параллельно направлению Взяв в качестве единицы длины дециметр, мы имеем:

Части и цепи можно рассматривать как стержни, растягиваемые силой в Воспользовавшись (21), мы получим

так что

Теперь для узла мы можем записать три уравнения типа (20). Стержни, соединенные в суть и так что мы имеем первое уравнение

или

Аналогично получаются два другие уравнения. Они суть:

Из найдем, что

а из (IV) и второго (V) мы получаем

откуда, воспользовавшись (VI),

Наконец, из (IV)

Теперь мы можем записать уравнения для узла известно

и эти уравнения будут системой трех уравнений с тремя неизвестными. Из них мы найдем:

Выражения (VI) — (IX) дают коэффициенты растяжения всех стержней. Из уравнений типа (21) мы получим, что

Теперь силы, возникшие в стержнях, имеют (приближенно) следующие значения:

Далее нужно найти крутящий момент, действующий в основании. Мы заметим, что при этом мы должны рассматривать как внешнюю только силу растяжения в потому что проходит через центр А круга-основания. Составляющие этой силы не дают крутящего момента, потому что лежит в плоскости Составляющая по оси X силы растяжения в будет:

Она действует на плече в Итак, крутящий момент, действующий в основании, равен:

Источник

При выборе пружин растяжения учитывают материал, предельную деформирующую силу, при которой изделие не
теряет изначальных свойств, и жёсткость, называемую также коэффициентом растяжения.
Последний параметр влияет на износостойкость пружины и определяет сферу применения:
от микроэлектроники (для элементов порядка 10-6Н/м) до тяжёлого машиностроения, где жёсткость измеряют в кН/м и МН/м.

Что такое коэффициент растяжения?

ЕПружина относится к телам с ярко выраженной упругой деформацией и подчиняется закону Гука.
По определению коэффициент жёсткости — отношение силы внешнего воздействия к смещению пружины
(при растяжении: коэффициенту удлинения) перпендикулярно сечению. В системе СИ для измерения упругости твёрдых дел используется Н/м,
а также кратные и дольные единицы:

МН/м = 106 Н/м

кН/м = 103 Н/м

мН/см = 10-1 Н/м

Расчёт пружины по формуле

Коэффициент можно измерить, приложив нагрузку, или рассчитать исходя из свойств материала и конструкции изделия.
В первом случае используется закон Гука для деформации, перпендикулярной сечению:

Здесь Fe — деформирующая сила,

Δl — разность начальной и конечной длины тела,

k — жёсткость.

Недостаток этой формулы: сложность вычисления упругости без опытных данных.

Коэффициент зависит от ряда факторов: физических свойств материала, сечения пружины и образующей проволоки,
конструкции (шаг между витками, их количество и форма).
Для теоретического анализа силы сопротивления деформации растяжения и сжатия используется модуль Юнга.
Он измеряется в паскалях (Па, Н/м2) и постоянен для деталей из одного материала, вне зависимости от
габаритов и особенностей конструкции. Модуль Юнга описывает изменение давления пружины на деформирующее
тело при сжатии относительно площади сечения.

Рассчитывается по формуле:

Здесь S — площадь приложения силы,

F — сила деформации, направленная перпендикулярно виткам пружины,

Δl — относительное удлинение,

l — абсолютное удлинение.

Для популярных конструкций существуют упрощённые формулы для коэффициента растяжения. Так, жёсткость цилиндрической пружины рассчитывается как:

Здесь R — внешний радиус, r — сечение проволоки, n — количество витков, G — постоянная для материала (модуль сдвига).

В приведённых формулах важно использовать приводимые единицы измерения. Например, если сила указывалась в миллиньютонах, а коэффициент считается в миллиньютонах на сантиметр, то относительное удлинение должно измеряться в сантиметрах. По умолчанию рекомендуется использовать единицы СИ: ньютоны (Н) для F и Fe; метры (м) для Δl, l, r, R; квадратные метры (м2) для S; паскали для E. Модули упругости (Юнга и сдвиговый) для известных металлических сплавов публикуются в справочниках и технической документации производителей. Для самостоятельного расчёта свойств материала достаточно провести эксперимент, измерив силу деформации и относительное удлинение, и подставить полученные значения в уравнение Юнга и формулу сдвига.

Хотите начать сотрудничать с нами?

Оставьте заявку на бесплатный звонок и мы свяжемся с Вами.

Источник

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Сила упругости и закон Гука

Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

лепка из глины;
погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

F = — k·x;

где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Определение силы упругости

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

k = F/x.

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Коэффициент жесткости пружин

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем — в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:

линейка;
пружина;
груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
Сила, которая вызвала деформацию, — это сила тяжести тела. Формула для ее расчета — F = mg, где m — это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g — величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14—10 = 4 см = 0,04 м.
По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

Источник

Решение . Функция представляет из себя отношение двух полиномов. Поэтому она голоморфна всюду в С, за исключением точки, в которой знаменатель обращается в ноль – это точка z = – i. Значит в точке , исследуемая функция имеет производную. Найдем ее.

; .

Следовательно, . Поэтому коэффициент растяжения будет равен 10 а угол поворота p.

Пример 4.2. Найти Является ли функция w=f(z)=f(x+iy) дифференцируемой в смысле R2 по переменным x, y , и дифференцируемой в смысле C по переменной z? Опишите области дифференцируемости

Решение . Представим заданную функцию w = f(z), где z = x + iy в виде

w = u(x, y) + iv(x, y). Проверим ее на дифференцируемость и аналитичность. В нашем случае w = f(z) = e1- iz. Определим вещественную и мнимую составляющие нашей функции. Для этого подставим число z = x + iy в выражение нашей функции и проведем необходимые действия, учитывая, что i2 = –1.

Используем обозначение

f(z) = e1- i(x + iy) = e1- ix + y = e1+ y — ix

+i( )

Следовательно, вещественная и мнимая части функции f(z) имеют вид

Re(f(z)) = u(x, y) =

Im(f(z)) = v(x, y) =

Теперь найдем всевозможные частные производные вещественной и мнимой частей нашей функции.

, ,

, .

Таким образом условия Коши-Римана

для функции f(z) выполняются для всех точек комплексной плоскости С. Значить функции f(z) комплексно дифференцируема во всей комплексной плоскости С А так как С является открытым и связным множеством, т.е. областью, то следовательно всюду в С функция f(z) аналитична.

Вычисление производной функции f(z), с учетом этих условий можно провести по любой из формул

В нашем случае

Физические приложения

Так как вещественная часть u(x,y) аналитической функции есть функция гармоническая, то, как известно из курса векторного анализа, она может быть представлена как потенциал плоского поля. Следовательно, уравнение u(x,y) = c – const есть уравнение линий равного потенциала (эквипотенциальных линий). Нетрудно показать, что семейство v(x,y) = c – const, где v(x,y) – мнимая часть аналитической функции, есть семейство кривых, ортогональных линиям u(x,y) = c . Но тогда v(x,y) = c–const есть силовые линии поля. Таким образом, всякая аналитическая функция дает картину плоского поля, электрического или магнитного, гидродинамического или теплового. Эта функция и называется, обычно комплексным потенциалом или характеристической функцией данного поля. В случае электрического или магнитного поля, если u(x,y) = c – const есть уравнение линий равного потенциала, то v(x,y) = c – const есть силовые линии поля. Напряженность E поля равна , т.е.|E|=|f`(z)| , а Arg E = – (p/2 + (Argf`(z)). Если поле гидродинамическое и u(x,y) = const есть линии равного потенциала скорости, то v(x,y) = const – есть линии тока или траектории частиц жидкости. Величина скорости |V| =|f`(z)| , а направление скорости образует с положительным направлением оси Ох угол равный –argf`(z) В случае теплового поля, если u(x,y) =const есть изотермы, то v(x,y)=const есть линии теплового потока.

Пример 5.1. По заданному комплексному потенциалу плоского теплового поля найти изотермы, линии теплового потока и определить величину скорости потока.

Решение. Найдем реальную, мнимую части и модуль данного комплексного потенциала теплового поля. Комплексный потенциал с помощью тригонометрической формулы двойного угла, которая остается верной в комплексном анализе, можно привести к виду . На основании определения комплексной функции косинус получим:

Во второй строке использовалась формулой Эйлера . В третьей – определением гиперболических функций синуса и косинуса

Поэтому реальная часть комплексного потенциала

а мнимая

Следовательно, модуль комплексного потенциала

В случае теплового поля, –есть изотермы, – есть линии теплового потока.

Величина скорости |V| теплового потока совпадает с модулем производной комплексного потенциала теплового поля

Пользуясь формулой и формулой для модуля w получим:

Дата добавления: 2016-12-05; просмотров: 3924 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов