Эпюра всф при растяжении сжатии

В различных сечениях одного и того же бруса внутренние силовые факторы различны. Для расчета конструкций на прочность весьма важно знать как величину внутренних силовых факторов, так и характер их изменения по длине бруса, что устанавливается по эпюрам ВСФ.

Эпюрой называется график, характеризующий закон изменения какого-либо параметра (например, ВСФ, напряжения, перемещения, температуры и др.) по длине или высоте составной части конструкции. Эпюра позволяет установить местоположение опасного сечения, где вероятнее всего произойдет разрушение конструкции.

При построении эпюр необходимо придерживаться следующих общих правил и порядка.

Правила построения эпюр ВСФ:

— ось, или база, эпюры выбирается рядом с исходной расчетной схемой;

— ординаты эпюры откладываются от оси в некотором масштабе с учетом знака;

— поле эпюры подвергается штриховке (штриховые линии должны быть перпендикулярны к оси эпюры), внутри него указывается знак и обозначаются характерные ординаты эпюры;

— выше или рядом с эпюрой дается ее название и указывается размерность, если эпюра построена в числовом виде.

Порядок построения эпюр ВСФ:

— расчетная схема заданного бруса разбивается на силовые участки, то есть участки, в пределах которых закон изменения заданного фактора является одним и тем же, т.е. неизменным. Границами силовых участков являются сечения, в пределах которых действуют внешние нагрузки (M, F, q) или изменяются направление оси и поперечные размеры бруса;

— для каждого силового участка применяется метод сечений (правило “РОЗУ”) и составляется общее уравнение искомого ВСФ в виде функции переменной абсциссы z ;

Рисунок 2.6- Пример построения эпюр ВСФ
 

— по полученным уравнениям определяются характерные ординаты эпюры и выполняется их построение в соответствии с вышерассмотренными правилами (рисунок

При построении эпюр ВСФ предварительно устанавливаются правила знаков, которые являются условными для каждого ВСФ

22) Состояние растяжение-сжатие. Определение напряжений в поперечном сечении (без учета и с учетом собственного веса).

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы , а прочие силовые факторы равны нулю.

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень длиной и площадью поперечного сечения А, на двух концах которого прило­жены две равные по величине и противоположно направленные центральные продольные силы Р (рис. 2.2, а).

Продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня. Примем следующее правило знаков для продольной силы: растягивающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна (рис. 2.1).

Рис.2.1

Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z ( ) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.2, б), приходим к следующему уравнению:

,

откуда следует, что

.

Следовательно, продольная сила в сечении численно равна сумме проекций на ось стержня всех сил, расположенных по одну сторону сечения

(2.1)

Рис. 2.2

Для наглядного представления о характере распределения продольных сил по длине стержня строится эпюра продольных сил . Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти Nmax при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

Отсутствует пример расчета. Его я не нашел к сожалению.

23) Определение деформации при растяжении-сжатии.

Oпыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии — наоборот (рис.2.7).

Абсолютная продольная и поперечная деформации равны

; .

Относительная продольная деформация e и относительная поперечная деформация e‘ равны

; .

В пределах малых удлинений для большинства материалов справедлив закон Гука — нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформацииe

. (2.2)

Коэффициент пропорциональности E — модуль продольной упругости, его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.

Средние значения E и m для некоторых материалов даны в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона n

Так как , а , то подставляя в закон Гука (2.2) можно получить формулу для определения абсолютного удлинения (укорочения) стержня

.

Эта зависимость также выражает закон Гука.

Знаменатель EF называется жесткостью при растяжении — сжатии или продольной жесткостью.

Отношение относительной поперечной деформации e’ к относительной продольной деформации e, взятое по модулю, называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона

.

Эта величина является постоянной для каждого материала и определяется экспериментально.

Значения n для различных материалов изменяются в пределах (n = 0 у пробки, n = 0,5 у резины). Для большинства конструкционных материалов n =0,25…0,33 (табл. 1.1).

E и n являются основными характеристиками упругости изотропного материала.

24) Закон Гука при растяжении-сжатии и сдвиге.

Растяжение сжатие:

Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией: или, если представить в другом виде: где Е — модуль продольной упругости. Это физическая постоянная материапа, характеризующая его способность сопротивпяться упругому деформированию.

Закон Гука при сдвиге: g = t/G или t = G×g .

G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е — модуль упругости, m— коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=а×F — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

Закон Пуассона.

вероятность возникновения случайного события n раз за время t. l — интенсивность случайного события.

Свойства:

1) МО числа событий за время t: М = l*t.

2) среднеквадратическое отклонение числа событий , для данного распределения М = D.

Распределение Пуассона получается из биноминального, если число испытаний m неограниченно возрастает, а МО числа событий остается постоянным.

Закон Пуассона используется в том случае когда необходимо определить вероятность того что за данное время произойдет 1,2,3…отказов.

Растяжением или сжатием называется такой вид деформаций, при котором в любом поперечном сечений бруса возникают только продольная сила . Брусья с примолинейной осью называют стержнями (рис.1).

Рис. 35.

Примой брус постоянного поперечного сечения , длиной , жестко защемленный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой F (рис.35). Под действием этой силы, брус удлинится на некоторою величину которую назовем абсолютным удлинением. Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине назовем относительным удлинением и обозначим .

При расчете, мы будем считать, что растяжение и сжатие бруса связано только с приложенными внешними силами, то есть учитываем только напряжения, действующие на стержень, температуру и время действий сил не будем учитывать.

При растяжении и сжатии продольные силы определяется методом сечении. Правило знаков будем определять следующим образом: растягивающие, то есть, направленные от сечения, продольные силы будем считать положительными, сжимающие, то есть направленные к сечению, будем считать отрицательными.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется то же правило знаков, что и для продольных сил.

При растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и вычисляемые по формуле:

площать поперечного сечения бруса,

Очевидно, что при растяжении и сжатии форма сечения на напряжения не влияет.

Условие прочности бруса при растяжении и сжатии определяется следующим образом:

Здесь называют допускаемым напряжением, максимальная продольная сила.

Напряжения и деформаций при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Гоберта Гука. Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению бруса.

Математически закон Гука можно вписать в виде равенства:

Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала и называется модулем продольной упругости. Модуль упругости и напряжения выражаются в одинаковых единицах.

Если в формулу закона Гука поставим выражения и то получим:

Контрольные вопросы

1. Что такое растяжение-сжатие?

____

2. По какому методу определяется нормальные силы?

__

3. По какой формуле определяется относительное удлинение или укорочение?

____

4. Какое напряжение появляется при растяжении-сжатии, и по какой формуле определяется?

____

5. Как пишется условие прочности при растяжении-сжатии?

____

6. Что такое модуль упругости, и в чем измеряется?

____

7. От чего зависит модуль упругости?

__

8. По какой формуле определяется абсолютное удлинение или укорочение бруса при растяжении-сжатии?

____

Пример 4.1.

Для данного ступенчатого бруса (рис.36.) построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если .

Рис.36.

1. Разбиваем брус на участки как показоно на рис. 37а.

Рис.37.

2. По методу сечения определяем ординаты эпюр и каждого сечения.

4. Строим эпюру (рис. 37б.)

5. Определяем перемещение свободного конца бруса.

Пример 4.2.

Для данного ступенчатого бруса (рис.38.) построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если .

Рис. 38.

1. Разбиваем брус на участки как показоно на рис. 39а.

2. По методу сечения определяем ординаты эпюр и каждого сечения.

Рис. 39.

3. Строим эпюру (рис. 37б.)

4. Определяем перемещение свободного конца бруса.

Для решения первой задачи контрольной работы 2 следует выполнить следующие действия:

1) Изучить темы 7,8,9.

2) Ответить на контрольные вопросы по темам 7,8,9.

2) Выполнить самостоятельно пример 2.2.

Данные для своего варианта первой задачи контрольной работы 2 посмотрите в таблице 4. Расчетную схему надо посмотреть в рис.40.

Таблица 4 (для первой задачи контрольной работы 2)

Рис. 40.