Изучение законов упругой деформации растяжения
В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения – одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.
Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:
Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) – величина определяющая жесткость материала, единица измерения – паскаль (ПА).
Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.
При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.
Внутренние усилия при растяжении и сжатии
При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие. На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.
Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.
Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.
Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:
U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)
Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения. Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.
Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения – джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA – это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.
Напряжения при растяжении сжатии
Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к. реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:
Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.
Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:
Δl=Nl/EA
Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).
В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.
В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр – сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.
Деформации при растяжении сжатии
При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый – упругая, второй – пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.
Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.
Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая – разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая – отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.
Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:
F=kx
В данном случае х – увеличение длины пружины, k – коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F – сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.
Расчеты на прочность и жесткость
Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности – безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.
Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.
Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.
Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.
С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.
С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.
При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.
Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.
Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.
Источник
Цель работы: определение модуля Юнга и коэффициента Пуассона для резины; проверка закона Гука.
Теоретическое введение
Жидкости сопротивляются изменению их объема, но не сопротивляются изменению формы. С этим свойством связан характерный для жидкостей закон Паскаля: передаваемое жидкостью во все стороны давление одинаково.
Твердые же тела сопротивляются как изменению объема, так и изменению формы; они сопротивляются, как говорят, любому деформированию. Для твердых тел не справедлив закон Паскаля. Передаваемое твердым телом давление различно в разных направлениях. Давления, возникающие в твердом теле при его деформировании, называются напряжениями. В отличие от давления в жидкости, упругие напряжения в твердом теле могут иметь любые направления по отношению к площадке, на которую действуют силы. Но при всем разнообразии деформации твердых тел оказывается возможным любую деформацию тела свести к двум основным типам, которые поэтому называют элементарными деформациями. Ими являются растяжение (сжатие) и сдвиг. Любые другие типы деформаций (изгиб, кручение, …) можно представить как комбинацию деформаций растяжения и сдвига.
В данной работе изучаются величины, характеризующие упругую деформацию растяжения. Пусть на цилиндр первоначальной длины и диаметра действует растягивающая сила (рис. 14.1). При этом образец увеличивает свою длину на , – абсолютное удлинение. Величину
(14.1)
называют относительным удлинением (относительной деформацией). При растяжении , при сжатии . При однородном растяжении величина во всех точках тела одинакова.
Отношение силы к величине сечения , на которое она действует, называется механическим напряжением в данном сечении:
. (14.2)
Опыт показывает, что при малых деформациях, при малых относительных удлинениях для цилиндров разного сечения и длины , но сделанных из одного и того же материала, выполняется закон Гука: напряжения пропорциональны деформации:
, (14.3)
где – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала цилиндра, но не зависящей от его размеров. Он называется модулем упругости или модулем Юнга данного материала. Из (14.1), (14.2) и (14.3) можно получить закон Гука в школьной формулировке:
, или ; (14.4)
при этом коэффициент жёсткости зависит как от свойств материала, так и от длины и сечения образца.
Если с прекращением действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние, то деформации называются упругими. Деформации будут упругими, если они достаточно малы.
Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью упругие свойства тела. Это видно и из рисунка 14.1: продольное растяжение цилиндра связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, цилиндр одновременно становится более тонким. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие
(14.5)
где – абсолютное поперечное сжатие. При растяжении , при сжатии .
Очевидно, что величина также пропорциональна растягивающему напряжению , и тем самым она пропорциональна и величине относительного удлинения . Вводится соотношение, называемое коэффициентом Пуассона:
. (14.6)
Коэффициент Пуассона , как и модуль Юнга , не зависит от размеров тела и является константой, характеризующей свойства вещества. Можно показать из общих требований механической устойчивости твердого тела, что значение коэффициента Пуассона меняется в пределах от 0 до 0.5. Значение достигается у пористых тел (например, у пробки), не меняющих при растяжении своих поперечных размеров. Близкие к 0.5 значения достигаются у таких тел, как резина, которые значительно легче поддаются изменению своей формы, чем изменению своего объема.
Таким образом, упругие свойства твердого тела характеризуются двумя величинами: и .
Отметим, что в наших рассуждениях мы подразумеваем, что твердое вещество изотропно – свойства его одинаковы во всех направлениях. Упругие свойства анизотропных тел – монокристаллов – характеризуются большим числом упругих постоянных (не 2, а 21 – в самом общем случае).
Упругие деформации, по определению, исчезают после снятия вызывающих их напряжений (абсолютно упругое тело). Конечно, реальные твердые тела вовсе не обладают этой способностью в полной мере. Только пока деформации тела не превосходят известных пределов, оно восстанавливает свою форму, и то лишь с известной степенью точности. Минимальное механическое напряжение, при котором реальные тела ведут себя приблизительно как тела абсолютно упругие, называется пределом упругости. Различные тела обладают различным пределом упругости, но для всех тел существует такое напряжение, что после снятия нагрузки тело уже не возвращается к исходному состоянию и сохраняет в заметной степени измененную форму. Такие деформации называются остаточными или пластическими.
Рассматривать тела как абсолютно упругие имеет смысл только при условии, что деформации тел заведомо не достигают предела упругости. При малых и медленных деформациях многие реальные твердые тела можно считать абсолютно упругими. Вопрос о том, как малы и медленны должны быть деформации, чтобы данное реальное тело можно было рассматривать как абсолютно упругое, должен быть решен на опыте путем изучения поведения тел при различных величинах деформаций.
Для этой цели применяются специальные машины, в которых образцы испытуемого материала подвергаются различным деформациям. Результаты испытаний материалов представляют в виде графиков, изображающих связь между деформациями образца и напряжениями (силами), в нем возникающими (рис.14.2). Как видно из рисунка 14.2, при малых деформациях напряжение пропорционально деформации: (участок 0-1). Это область область пропорциональности. Максимальное напряжение, при котором выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности. Далее напряжения растут медленнее, чем деформации (1-3 на рис.14.2). В этой области и лежит предел упругости тела. Точного определения предела упругости дать вообще невозможно, так как малые остаточные деформации наблюдаются всегда. Пределом упругости можно считать такое наибольшее механическое напряжение, после снятия которого остаточные деформации невелики (они не превышают некоторой определенной условно выбранной доли от наибольшей деформации, которой подвергается образец, например, 0.001%). Предел упругости лежит обычно близко за пределом пропорциональности . Дальше начинается область текучести участок 3-4 на рис.14.2). Под действием напряжения, равного пределу текучести , тело непрерывно увеличивает свою деформацию без увеличения нагрузки; оно будет течь как жидкость. При еще больших деформациях наступает разрушение (точка 5). Предел прочности – минимальное напряжение, при котором начинается разрушение тела.
Область упругих деформаций в большинстве применяемых на практике материалов очень незначительна (например, для стали пределу упругости соответствует значение ). Поэтому наибольшие деформации, которые может выдержать данный материал без разрушения, определяются главным образом величиной области текучести. Материалы, для которых эта область мала, способны выдерживать без разрушения только малые деформации – это хрупкие материалы. Те же, которые способны без разрушения выдерживать большие деформации – вязкие материалы. Например, чугун и сталь имеют примерно одинаковую область упругих деформаций и примерно одинаково ведут себя в этой области – они в одинаковой степени упругие. Но область текучести у чугуна гораздо меньше, чем у стали, поэтому он гораздо более хрупок.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: лабораторная установка, набор грузов (гирь).
Источник