Изменение длины тела при растяжении или сжатии
Для того, чтобы иметь полную картину работы растянутого или сжатого стержня, необходимо уметь вычислять то, как будут под нагрузкой меняться его размеры:
- Продольный размер/изменение длины (удлинение при растяжении, укорочение при сжатии)
- Поперечный размер/изменение толщины (сужение при растяжении, утолщение при сжатии)
Сначала проанализируем изменение длины.
От чего же зависит удлинение стержня?
Снова вернёмся к диаграммам из опытов на растяжение. Напомню, нас интересует только начальная (линейная) часть графика.
Так как мы рассматриваем только прямой отрезок на графике, то его можно описать с помощью линейной функции:
Здесь в качестве y выступает приложенная сила P (размерность в Н), а в качестве x – удлинение ∆L (размерность в мм). Получаем:
Перезаписав эту формулу относительно удлинения, получим:
k — это коэффициент жёсткости стержня. Как видно из формулы, чем больше k, тем меньше стержень удлинится.
Допустим, перед нами стоит задача определить удлинение стержня при заданной растягивающей нагрузке. Но откуда взять коэффициент жёсткости k?
Для ответа на этот вопрос следует провести серию сравнительных опытов. Суть их такова, что надо прикладывать одну и ту же силу к почти одинаковым образцам и через различия в удлинениях сделать вывод о влиянии (или отсутствии такового) на коэффициент жёсткости тех факторов, которые были выбраны разными.
Допустим, что коэффициент жёсткости зависит от длины стержня L. Берём два почти идентичных стержня одинаковой толщины из одного и того же материала, только один, например, в два раза длиннее другого. Растягиваем их одинаковой силой. Так как длинный стержень, по сути, «содержит в себе» два коротких, то его удлинение также будет в два раза больше удлинения короткого стержня. Вывод из этого опыта: коэффициент жёсткости стержня зависит от его длины. Чем короче стержень, тем он жёстче.
Или другой опыт: возьмём два стержня одинаковой длины из одного и того же материала, только один стержень будет толще другого так, что площадь его поперечного сечения F будет в два раза больше площади поперечного сечения другого стержня. После растяжения их одной и той же силой можно заметить, что более тонкий стержень удлинится в два раза больше, чем более толстый. Отсюда вывод, что коэффициент жёсткости стержня зависит от площади поперечного сечения. Чем толще стержень, тем он жёстче.
Эти два опыта исчерпывающе показывают зависимость коэффициента жёсткости стержня от его геометрии. Однако коэффициент жёсткости зависит также и от материала этого стержня. Два одинаковых по форме стержня из стали и из дерева будут иметь совершенно разные коэффициенты жёсткости. Что именно в материалах создаёт такие различия – неизвестно.
Мы всё неизвестное в материале, что так или иначе вызывает различия в коэффициентах k, заключим в одну величину и обозначим её буквой E.
В итоге получим экспериментальную зависимость для коэффициента жёсткости :
Зная размерность жёсткости [k]=Н/мм, можно найти размерность E:
Эту величину впервые ввёл английский физик Томас Юнг.
Эта величина E называется модулем упругости материала при растяжении (или модулем Юнга), и она характеризует способность твёрдого тела упруго деформироваться при приложении к нему растягивающей силы.
По сути же, она является макроскопическим следствием микроскопических связей в веществе. Как же определить модуль упругости для того или иного материала?
Для начала запишем итоговую формулу для удлинения стержня:
Выразим отсюда модуль упругости:
Для определения модуля Юнга необходимо:
- провести опыт на растяжение,
- выбрать произвольную точку на начальном линейном участке,
- определить удлинение в ней и соответствующую силу,
- зная площадь поперечного сечения и длину стержня, вычислить модуль Юнга
Величины модулей упругости и плотности некоторых материалов:
Что касается сжатия, то при сравнении модулей Юнга при растяжении и сжатии большинства материалов, можно заметить незначительные различия в их величинах. Этими различиями часто пренебрегают.
Так как рассматривается только линейный участок, то и значения модулей Юнга соответствуют жёсткости материала на линейном участке.
Однако в инженерной практике бывают случаи, когда, например, напряжения в металле выходят за предел пропорциональности. Когда это происходит, то значения модуля Юнга начинают уменьшаться по сравнению со значением в упругой зоне.
В итоге мы имеем формулу для нахождения изменения длины при растяжении или сжатии:
Это – экспериментальный закон Гука. По этой формуле можно находить изменения длины в стержнях или колоннах, испытывающих осевое растяжение или сжатие. Однако, хотя данная формула и позволяет считать изменения длины для элементов под осевой нагрузкой, она является упрощением реальной картины происходящего. Что это означает? Поясню на примере:
Желая растянуть стержень, например, 100 килограммами, мы эти 100 килограмм будем прикладывать очень медленно. То есть сначала приложим только килограмм, потом два, три и т.д. вплоть до ста. Но ведь проблема в том, что при нагружении одним килограммом, стержень уже удлинится. То есть чтобы подсчитать удлинение при действии двух килограммов, придётся брать изначальную длину стержня, которая будет соответствовать длине растянутого одним килограммом стержня. И так далее. Но если вы проведёте точный расчёт даже для относительно мягкого алюминия, вы обнаружите, что различие между точным и приближённым расчётом будет ничтожно мало. Потому, на практике применяется приближённый расчёт.
То же самое и с площадью поперечного сечения. Стержень сужается не только в пластической зоне (где это сужение видно невооружённым глазом), но и в линейной (упругой), где это изменение можно отследить только с помощью точных приборов. А так как мы имеем дело в основном с линейной частью графика, то потому берётся изначальная площадь поперечного сечения. Это явление (сужение при удлинении) будет рассмотрено чуть позже.
Формулу для нахождения удлинений можно видоизменить, перейдя к относительным величинам.
Сила, приходящаяся на единицу площади – это напряжение, с которым уже имели дело:
Удлинение, приходящееся на единицу длины – это относительное удлинение. Обозначим эту величину греческой буквой ε:
В итоге получим:
Или
Это – закон Гука в относительной форме. Можно заметить, что размерность модуля Юнга – паскали, как и размерность напряжения. Исходя из этого, можно дать определение модулю Юнга, как фиктивному напряжению, при котором стержень удлинится на величину своей исходной длины. Но так как удлинения в конструкционных металлах просто ничтожны по сравнению с исходными длинами, то и модуль Юнга в разы больше, чем действующие напряжения.
Рассмотренные случаи являются лишь частными случаями осевого нагружения тела. Очень часто бывает так, что
- нужно учесть собственный вес вертикально расположенного тела (например, при очень большой длине);
- или тело может иметь переменное сечение по длине;
- или оно может быть составленным из нескольких разных тел вдоль оси;
- или же внешнее нагружение может меняться по длине;
- и так далее, случаев может быть множество
В качестве немного более общего примера решим задачу.
Задача: Определить удлинение конического бруса при действии собственного веса, если высота конуса равна L, диаметр основания равен D, вес единицы объёма материала равен γ (плотность тела с размерностью силы (ньютоны) поделённые на объём (кубические метры, миллиметры и т.п.)), модуль упругости материала равен E. Известно, что материал конуса при растяжении от собственного веса работает в пределах упругости и к нему применим закон Гука.
Решение:
Объём конуса определяется по формуле:
Вес конуса равен удельному весу материала, умноженному на объём конуса:
Введём систему координат и выделим элемент бесконечно малой длины dx на расстоянии x от вершины конуса
По свойству бесконечно малых величин, усилия и напряжения на верхней и нижней поверхности элемента от действия нижележащей массы будут равны.
При небольшом угле конуса можно сделать допущение, что растягивающие напряжения равномерно распределены по поперечному сечению (в реальности напряжения будут выше на краях). Нужно вывести выражение для растягивающего усилия для любого сечения на расстоянии x от вершины конуса. Диаметр любого сечения, отстоящего от вершины конуса на x можно найти из подобия треугольников.
Элемент длиной dx, площадью F(x) растягивается силой P(x). Требуется найти удлинение элемента dx:
Теперь нужно просуммировать удлинения всех элементов dx по высоте конуса L:
В итоговом выражении для удлинения отсутствует диаметр основания из-за сделанного нами допущения, которое справедливо только для конусов с малым углом (т.е. очень острых конусов). Для всех остальных конусов решение будет иметь более сложный вид.
В целом, суть решения всех задач по осевому растяжению/сжатию тел сводится к определению удлинений отдельных его частей/частиц и к итоговому их суммированию для получения общего удлинения. Для получения напряжения в любом поперечном сечении нужно найти силу, действующую в нём, и поделить её на площадь этого сечения.
Источник
В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения – одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.
Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:
Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) – величина определяющая жесткость материала, единица измерения – паскаль (ПА).
Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.
При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.
Внутренние усилия при растяжении и сжатии
При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие. На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.
Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.
Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.
Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:
U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)
Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения. Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.
Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения – джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA – это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.
Напряжения при растяжении сжатии
Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к. реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:
Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.
Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:
Δl=Nl/EA
Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).
В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.
В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр – сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.
Деформации при растяжении сжатии
При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый – упругая, второй – пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.
Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.
Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая – разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая – отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.
Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:
F=kx
В данном случае х – увеличение длины пружины, k – коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F – сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.
Расчеты на прочность и жесткость
Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности – безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.
Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.
Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.
Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.
С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.
С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.
При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.
Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.
Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.
Источник