Графики функций сжатие и растяжение графиков
Список функций, изученных в 7 и 8 классе
Функция | Формула | График | Раздел справочника |
Прямая пропорциональность | y = kx | Прямая | 7 кл., §37 |
Линейная функция | y = kx+b | Прямая | 7 кл., §38-39 |
Обратная пропорциональность | $ y = frac{k}{x} $ | Гипербола | 8 кл., §6 |
Квадрат числа | $ y=x^2$ | Парабола | 8 кл., §18 |
Квадратный трёхчлен | $ y = ax^2+bc+c$ | Парабола | 8 кл., §28-29 |
Квадратный корень | $ y = sqrt{x}$ | Парабола | 8 кл., §22 |
Растяжение и сжатие графика по оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$
где $p gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть p = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $ $y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f(2x) = frac{4}{(2x)} = frac{2}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1 $ График сжимается в 2 раза по оси OX |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f(2x) = sqrt{2x}$ $y_2=y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX |
|
Теперь сравним пары функций с делением на p:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f left( frac{x}{p} right), quad p gt 1 $$
Пусть p = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f left(frac{x}{2}right) = left(frac{x}{2}right)^2 = frac{x^2}{4} $ $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = frac{4}{x/2} = frac{8}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = sqrt{frac{x}{2}}$ $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
|
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(px), quad p gt 1 $$
график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f Biggl(frac{x}{p}Biggr), quad p gt 1 $$
график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Растяжение и сжатие графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x) $$
где $A gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть A = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = 2f(x) = 2x^2 $ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = 2f(x) = frac{8}{x}$ $ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = 2f(x) = 2sqrt{x}$ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |
|
Теперь сравним пары функций с делением на A:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
Пусть A = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{x^2}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |  |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{2}{x}$ $ y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |
|
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{sqrt{x}}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |
|
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x), quad A gt 1 $$
график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = sqrt{x}, y = sqrt{3x}, y = sqrt{frac{x}{3}}, y = 3sqrt{x} $$
Сделайте выводы.
По сравнению с графиком $y = sqrt{x}$:
- график функции $y = sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
- график функции $y = sqrt{frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
- график функции $y = 3sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)
Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = f(x), y = f(2x), y = f Biggl(frac{x}{2}Biggr), y = 2f(x) $$
где $f(x) = x^2+3x+2$
Сделайте выводы.
Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$
Остальные функции
$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$
$$ y = fBiggl(frac{x}{2}Biggr) = Biggl(frac{x}{2}Biggr)^2+3 cdot Biggl(frac{x}{2}Biggr) +2 = frac{x^2}{4}+ frac{3}{2} x+2 $$
$$ y = 2f(x) = 2x^2+6x+4 $$
Получаем:
По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:
- график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
- график функции $y = f left(frac{x}{2}right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
- график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)
Рейтинг пользователей
110
Hans Hoffman
80
Елена Зайцева
70
Эльдар Фаттахов
60
CS-N
60
Кирилл Тимошенко
Источник
Анна Малкова
В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
1. Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика. Или сжатие.
2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если
3. Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если
И отражение по горизонтали.
4. Отражение по горизонтали
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
5. Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.
И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.
6. Графики функций и
На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.
Вот самые простые задачи на преобразование графиков.
1. Построим график функции
Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.
Вершина в точке
2. Построим график функции
Выделим полный квадрат в формуле.
График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.
Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка
Продолжение — в статье «Построение графиков функций».
Источник
Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.
п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс – с периодом π. Получаем следствие общих принципов:
При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ период второй функции уменьшается в p раз: $$ T_2=frac{T_1}{p} $$
При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ период второй функции увеличивается в p раз: $$ T_2=pT_1 $$
Например:
Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sin2x, h(x)=sinfrac{x}{2} $$ 
Период колебаний функции (g(x)=sin2x) в 2 раза меньше: (T_g=frac{2pi}{2}=pi).
Период колебаний функции (h(x)=sinfrac{x}{2}) в 2 раза больше: (T_h=2cdot 2pi=4pi).
п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=Af(x), Agt 1 $$ график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Общий принцип сжатия графиков:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=frac{1}{A}f(x), Agt 1 $$ график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:
- умножение на параметр (Agt 1) увеличивает амплитуду колебаний в (A) раз;
- деление на параметр (Agt 1) уменьшает амплитуду колебаний в (A) раз.
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx, g(x)=2cosx, h(x)=frac{1}{2}cosx $$ 
Умножение на (A=2) увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.
Область значений функции (g(x)=2cosx: yin[-2;2]). График растягивается по оси OY.
Деление на (A=2) уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции (h(x)=frac12 cosx: yinleft[-frac12; frac12right]). График сжимается по оси OY.
2) Теперь построим $$ f(x)=tgx, g(x)=2tgx, h(x)=frac{1}{2}tgx $$ 
В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на (A=2) служит поведение функции при (x=fracpi4). $$ fleft(fracpi4right)=tgleft(fracpi4right)=1, gleft(fracpi4right)=2tgleft(fracpi4right)=2, hleft(fracpi4right)=frac12 tgleft(fracpi4right)=frac12 $$ Аналогично – для любого другого значения аргумента x.
п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы переноса по оси OX:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x+a), agt 0 $$ график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x-a), agt 0 $$ график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций (y_1=f(x)) и (y_2=f(xpm a)) говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен (pm a).
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinleft(x+fracpi4right), h(x)=sinleft(x-fracpi4right) $$ 
Функция (g(x)=sinleft(x+fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) влево по сравнению с (f(x))
Функция (h(x)=sinleft(x-fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) вправо по сравнению с (f(x))
п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы переноса по оси OY:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)+a, agt 0 $$ график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)-a, agt 0 $$ график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinx+1, h(x)=sinx-1 $$ 
Функция (g(x)=sinx+1) сдвинута на 1 вверх по сравнению c (f(x))
Функция (h(x)=sinx-1) сдвинута на 1 вниз по сравнению с (f(x))
п.5. Общее уравнение синусоиды
Синусоида – плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Asin(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B – вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)
График (y(x)=Acos(cx+d)+B) также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.
Например:
Построим график (g(x)=3sinleft(2x+fracpi2right)-1)
По сравнению с (f(x)=sinx):
- (A=3) — график растянут по оси OY в 3 раза
- (c=2) — период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
- (d=fracpi2) – начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{2cdot 2}=fracpi4) влево
- (B=-1) — график сдвинут по оси OY на 1 вниз
п.6. Общее уравнение тангенцоиды
Tангенцоидa – плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Atg(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B – вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)
График (y(x)=Actg(cx+d)+B) также называют тангенцоидой.
Например:
Построим график (g(x)=frac12 tgleft(frac{x}{2}-fracpi3right)+1)
По сравнению с (f(x)=tgx):
- (A=frac12) — график сжат по оси OY в 2 раза
- (c=frac12) — период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси OX
- (d=-fracpi3) – начальная фаза отрицательная, график сдвинут на (frac{pi}{3cdot 1/2}=frac{2pi}{4}) вправо
- (B=1) — график сдвинут по оси OY на 1 вверх
п.7. Примеры
Пример 1.Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx, g(x)=-sinx, h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для (g(x)) и (h(x)) в сравнении с (f(x)). 
Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.
Для (f(x)=sinx) главная арка определена на отрезке (0leq xleq pi)
Для (g(x)=-sinx) главная арка определена на отрезке (-pileq xleq 0), т.е. сдвинута на π влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=g(x+pi), sinx=-sin(x+pi) $$ Для (h(x)=cosx) главная арка определена на отрезке (-fracpi2leq xleq fracpi2), т.е. сдвинута на (fracpi2) влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=hleft(x+fracpi2right), sinx=cosleft(x+fracpi2right) $$
Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) (y=sin5x)
Период синуса (2pi) уменьшается в 5 раз. Получаем: (T=frac{2pi}{5})
б) (y=cospi x)
Период косинуса (2pi) уменьшается в (pi) раз. Получаем: (T=frac{2pi}{pi}=2)
в) (y=tgfrac{x}{4})
Период тангенса (pi) увеличивается в 4 раза. Получаем: (T=4pi)
г) (y=tgleft(2x+frac{pi}{3}right))
Период тангенса (pi) уменьшается в 2 раза. Получаем: (T=fracpi2)
Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctgleft(3x+fracpi6right) $$ По сравнению с (g(x)=tgx):
- (A=2) — график растянут по оси OY в 2 раза
- (c=3) — период меньше в 3 раза (T=fracpi3), расстояние между асимптотами (fracpi3), график сжат в 3 раза по оси OX
- (d=-fracpi6) – начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{6cdot 3}=frac{pi}{18}) влево
Расположение нулей: $$ tgleft(3x+fracpi6right)=0Rightarrow 3x+fracpi6=pi kRightarrow 3x=-fracpi6+pi kRightarrow x =-frac{pi}{18}+frac{pi k}{3} $$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.
Расположение асимптот: $$ 3x+fracpi6nefracpi2+pi kRightarrow 3xnefracpi3+pi kRightarrow xnefracpi9+frac{pi k}{3} $$ Пересечение главной ветви с осью OY: (x=0, y=2tgfracpi6=frac{2}{sqrt{3}})
С учетом периода (fracpi3) получаем семейство дополнительных точек для построения графика (left(frac{pi k}{3}; frac{2}{sqrt{3}}right)).
Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) (sinx=sin2x) при (0leq xleq 3pi)
Ответ: 7 корней
б) (cosfrac{x}{2}=cos2x) при (-2pileq xleq 2pi)
Ответ: 7 корней
Источник
ЦЕЛИ: 1) рассмотреть графики функций y=f(x), y=kf(x),
y=f(x)+n, y=f(x-m) и y=f(x-m)+n и их свойства, используя ПК и
программу Advanced Grapher;
2)расширить представления о преобразованиях
графиков более сложных функций;
3)способствовать развитию у учащихся навыков
чтения графиков и построения графиков функций.
I. Новый материал – объяснительная лекция.
Графики функций широко используются в
различных областях инженерных знаний, поэтому
умение строить, “читать”, прогнозировать их
“поведение” имеют огромную роль в практической
деятельности инженерных работников, гидро,
метеорологов и людей других “математических”
специальностей.
Выясним, какая связь существует между
графиками функций y = f(x) и y = kf(x), где k-число, не
равное нулю.
Пусть графиком функции y = f(x), область
определения которой- промежуток[-2;4],является
кривая, изображённая на рис.1а f(x) =
x(x-3)(x+1).
Рассмотрим сначала случай, когда k>1.Построим
график функции y = kf(x), где k=2. Для этого расстояние
каждой точки графика функций y = f(x) от оси X
увеличим в 2раза, т.е.умножим её ординату на 2.
Построение выполним с помощью программы Advanced
Grapher, набрав формулу функции F1 с клавиатуры.
Заметим, что точки с абсциссами 0; 3; -1,
принадлежащие оси Х, останутся на месте, т.к.их
ординаты равны нулю (0*2х = 0).Все остальные точки
графиков у1, и у, имеющие одинаковые
абсциссы, будут лежать соответственно на
перпендикулярах к оси Х, причём каждая точка
графика функции у= 2f(x)
будет находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза
большем, чем соответственная точка графика
функции y = f(x). (рис. 1б).
Рассмотрим теперь случай, когда О < k < 1,
например k =, и
построим график функции y= kf (x), при k = , используя программу Advanced Grapher.
Опять же заметим, что точки с абсциссами -1; 0 и 3,
принадлежащие оси Х, останутся на месте ( 0* = 0 ), а каждая точка
графика функции y= f (x), будет
находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза
меньшем, чем соответственная точка графика
функции y = f(x) (рис.1в).
Делаем вывод о том, что график функции y = f(x) при k
< 1 можно получить из графика функции y = f(x)
растяжением от оси Х исходного графика в k раз, а
при О < k < 1- сжатием к оси Х графика функции y =
f(x) в раз.
И рассмотрим случай, когда k< 0. Ограничимся
значением k = -1, т.е. выясним, как можно построить
график функции y= -f(x),
зная график функции y = f(x).
Задав с клавиатуры формулу графика y = -f(x) и
получив соответствующее изображение на экране (рис. 1г), заметим, что каждой точке
графика y, кроме точек с
абсциссами -1; 0 и 3, соответствует точка графика y =
f(x) с противоположной ординатой.
Соответственно делаем вывод, что график
функции y = -f(x) можно получить с помощью симметрии
относительно оси Х.
Аналогично, графики функций y = kf(x) и y = -kf(x) при
любом k0 симметричны
относительно оси Х.
Иначе говоря, чтобы построить график функции y =
kf(x), где k < 0, можно сначала построить график
функции y = -kf(x), где -k > 0, а затем отобразить его
симметрично относительно оси Х.
Выясним, как связаны между собой графики
функций y = f(x) и y = f(x)+n, где n –произвольное число.
Рассмотрим графики функций y = x, y = x — 4 , y= x-4, y = x+ , y= x- (рис. 2).
Рассматривать будем попарно графики функций у
и у(рис.2а),
у и y(рис.2б),
у и y(рис.2в),
у и y(рис.2г).
Моментальное построение графика каждой из выше
указанных функций даст возможность сделать
вывод, что график функции y = f(x) + n можно получить
из графика функции y = f(x) с помощью сдвига вдоль
оси Y на n единиц вверх, если n>0, или на единиц вниз, если
n<0.
Выясним теперь, как связаны между собой графики
функций y = f(x) и y = f(x-m), где m – произвольное число.
Рассмотрим графики функций y = (x-3), y = (x+2), y = (x), y = (x+).
Получаем рис.3 и делаем вывод, что
график функции y = f(x) можно получить с помощью
сдвига вдоль оси Х на m единиц вправо, если m>0,
или на единиц
влево, если m<0.
Из курса алгебры VII класса известно, что график
функции y = x (парабола)
симметричен относительно ось У. Точку
пересечения параболы с осью симметрии называют
вершиной параболы.
Построим, используя программу Advanced Grapher, в одной
системе координат графики функций y = x, у== x+2, y= (х-3) и y= (х-3) +2 ( рис.4).
Учащимся наглядно видно, что у параболы у== x+2 осью симметрии является ось У, а у
параболы y= (х-3) — прямая х = 3. Графиком же
функции y= (х-3) +2 является парабола с
вершиной в точке (3;2) и осью симметрии её является
прямая х = 3.
Из наглядного наблюдения учащиеся видят, что
при построении графика функции у = (х-3) +2 нужно последовательно
выполнить два параллельных переноса: один в
направлении оси У на 2 единицы вверх, а другой в
направлении оси Х на 3 единицы вправо.
Делаем вывод, что графиком функции вида у = (х-m) +n является парабола с
вершиной в точке А(m;n) .А также обобщаем выше
рассмотренные преобразования графиков и делаем
вывод, что график функции y = f(x-m)+n может быть
получен из графика функции y=f(x) в результате
последовательно выполненных двух параллельных
переносов: сдвига вдоль оси Х на m единиц и сдвига
графика функции у = (х-m)
вдоль оси У на n единиц.
II. Закрепление
.
У: Изобразите на координатной плоскости
заданные точки и определите, используя обороты
“выше на…” и “ниже…”, взаимное расположение
соответствующих точек:
а) А(-1;7) и А1(-1;10) б) В(2;7) и В1(2;5) в) С (0;-6)
и С1(0;-5) г) Д (3;-4) и Д1(3;-7) .
У: Как найти расстояние между точками, имеющими
одинаковые ординаты? Закончите предложение:
“Если точки имеют одинаковые ординаты, то
расстояние между ними равно…”
Обучающая исследовательская работа.
(карточки-распечатки см. Приложение 1)
I вариант.
1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) + 2. заполните таблицу значений этих
функций и сделайте вывод о взаимном расположении
точек данных функций и их графиков:
| 1 | 2 | 4 | 6 | 7 |
y=f(x) | 5 | 7 | -5 | ||
y=f(x)+2 | 3 | -11 |
Д: Любая точка графика y = f(x)+2 с абсциссой X находится на 2 единицы
“выше”, чем точка графика y = f(x) с той же самой
абсциссой; а график функции y = f(x)+2 можно получить из графика y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на 2
единицы “вверх”.
II вариант.
1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) – 3. заполните
таблицу значений этих функций и сделайте вывод о
взаимном расположении точек данных функций и их
графиков:
| 1 | 3 | 5 | 9 | |
y=f(x) | 4 | -6 | 5 | ||
y=f(x)-3 | -3 |
Д: Любая точка графика y = f(x)-3 с абсциссой X находится на 3 единицы
“ниже”, чем точка графика y = f(x) с той же самой
абсциссой; а график функции y=f(x)-3 можно получить из графика y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на 3
единицы “вниз”.
У: С помощью какого преобразования можно
получить график функции y = f(x)+a, а0 из графика функции y = f(x).
Д: Обобщённый вывод (записать в тетрадь): График
функции y1= f(x)+a, а0 можно получить из графика функции y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на единиц “вниз”,
если а<0, и на
единиц “вверх”, если а>0.
У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+7. Известно, что один из
них проходит через начало координат. Определите
точку пересечения другого графика с осью
ординат.
Д: A (0;7) или А (0;-7).
У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+c. Известно, что один из
них проходит через точку А(-11;231) и другой через
точку А (-11;132). Найдите
все возможные значения С.
Д: 99 или -99.
I вариант.
2. Постройте графики функций, используя
известный график y = kx:
a) y = x-4 ; б) у = x+1;
в) у = 2 x-1.
3.
II вариант.
2. Постройте графики функций, используя
известный график y = kx:
а) у = -x+3; б) у = -0,5x+2; в) у = -2x-3.
3.
У: Изобразите на координатной плоскости
заданные точки и определите, используя обороты
“левее на …” и “правее на …” взаимное
расположение следующих точек:
а) А (-1;7) и А (6;7) б) С (8;-6)
и С (14;-6) в) В (2;3) и В (-2;3) г) Д (-13;_4) и Д (-3;-4).
У: Как найти расстояние между точками, имеющими
одинаковые абсциссы? Закончите предложение:
“Если точки имеют одинаковые абсциссы, то
расстояние между ними равно…”
I, II вариант.
4. Заданы функции y=f(x), y=
f(x+2) и y= f(x-3). Заполните
таблицу значений этих функций:
У: Как взаимно расположены точки графиков
функций y = f(x) и y = f(x+2)?
Каким образом можно получить график функции y= f(x+2) из графика функции y =
f(x)?
Д: Любая точка графика y=
f(x+2) с абсциссой х-2
находится на 2 единицы “левее”, чем точка
графика y=f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x+2) можно получить из графика y = f(x),
“сдвинув” его на 2 единицы влево вдоль оси
абсцисс.
У: Как взаимно расположены точки графиков
функций y = f(x) и y= f(x-3)?
Каким образом можно получить график функции y= f(x-3) из графика функции y =
f(x)?
Д: Любая точка графика y= f(x-3) с абсциссой х+3
находится на 3 единицы “правее”, чем точка
графика y = f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x-3) можно получить из графика функции y =
f(x) “сдвинув” его на 3 единицы вправо вдоль оси
абсцисс.
У: Попытайтесь сделать вывод о том как можно
получить график функции y= f(x+а) из графика функции y = f(x)?
Д: График функции y=
f(x+а) можно получить из графика функции y = f(x),
“сдвинув” его на единиц вправо вдоль оси абсцисс, если
а<0, и на
единиц влево вдоль оси абсцисс, если а>0.
У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y= f(x+7). Известно, что один из
них проходит через начало координат. Какую точку
пересечения графика с осью абсцисс можно указать
наверняка?
Д: А(-7;0) и А (7;0).
У: Опишите как расположены относительно друг
друга графики функций (задания 5-9 выполнены на
карточках-распечатках, ответы в устной форме):
5. y = f(x-2) и y = f(x+7).
6. y = f(2x) и y = f(2x-4).
7. y = f(2x) и y = f(2x+1).
8. y = f(0,5x) и y = f(0,5x-4).
9. y = f() и . y = f(-1).
III . Лабораторно-исследовательская работа.
(все задания выполнены на
карточках-распечатках, ответы см. в приложении
2)
I вариант.
10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :
а) у = (x-4). б) у = (x+2).
11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x+3)-4?
12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:
а) у = -4; б) у =
(x+3)-4.
II вариант.
10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :
а) у = 2(x-1), б) у = -(x+3).
11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x-5)+2?
12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:
а) у =+2; б) у =(x-5)+2.
III вариант.
10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :
а) у = -0,5(x-4); б) у = (2x-3).
11. Пусть дан график функции y = f(x). Как получить
график функции y = f(x+1)+3?
12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:
а) у =+3; б) у =
(x+1)+3.
IV вариант.
10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :
а) у = 4x+4х+1; б) у = —х-1.
11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x-2)-1?
12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:
а) у =-1; б) у =
(x-2)-1.
Источник