Гипотезы при растяжении сжатии

Основные понятия и зависимости

Растяжение и сжатие

Лекция № 3

При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила, обозначаемая NZ или N.

Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, называют стержнями.

Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия – отрицательными.

При растяжении продольная сила направлена от сечения, а при сжатии – к сечению.

1. Принцип Сен-Венана: равномерное распределение упругих сил во всех поперечных сечениях. И только в сечениях, расположенных очень близко к местам приложения сил нельзя ожидать равномерного распределения сил упругости. Определение сил упругости в местах, лежащих близко к месту приложения внешних сил, представляет трудную задачу, не входящую в курс сопротивления материалов.

2. Гипотеза Я. Бернулли: сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось OZ всех внешних сил, приложенных к оставленной части.

В тех случаях, когда продольные силы в различных поперечных сечениях неодинаковы, закон их изменения по длине бруса удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил N=f(z).

Обозначим полученное удлинение Δl, его величина будет:

Δl=l – lo (мм)

Это приращение длины бруса называется полным или абсолютным удлинением при растяжении, а в случае сжатия бруса оно называется полным или абсолютным укорочением.

Абсолютное удлинение (укорочение), очевидно, зависит от первоначальной длины бруса, поэтому более удобной мерой деформации является удлинение (укорочение), отнесенное к первоначальной длине бруса.

Отношение

называется относительной продольной деформацией или относительным удлинением (укорочением).

Относительное удлинение (укорочение) не имеет размерности и выражается в процентах от первоначальной длины:

Нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса, выразим через продольную силу и площадь сечения:

Единица измерения или МПа – мегапаскаль.

Нагрузки и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678г. Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в теории сопротивления материалов.

(1) — закон Гука

Этот закон справедлив в пределах упругой деформации, но пропорциональность нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел пропорциональности, который устанавливается опытным путем.

Коэффициент Е называется модулем упругости первого рода или модулем продольной упругости (модулем Юнга).

Размерность у Е такая же как и у напряжения σ – мегапаскаль.

При одном и том же напряжении относительная деформация будет меньше у того материала, для которого Е будет больше. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала.

Величина модуля упругости устанавливается для материалов экспериментально. Ниже приведены средние значения Е для некоторых материалов при комнатной температуре.

Сталь

Чугун

Медь

Бронза

Алюминий

Дерево

Формулу (1) можно записать в другом виде, если учесть и :

(2) – формула Гука

Из формулы (2) следует, что абсолютное удлинение (укорочение), получаемое брусом, прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине бруса и обратно пропорционально величине — жесткости сечения.

Формулы (1) и (2) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие.

Сопротивление материалов

Растяжение и сжатие



Напряжения и характер деформаций при растяжении и сжатии

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила.
Брусья с прямолинейной осью, работающие на растяжение или сжатие, часто называются стержнями.

Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют активные силы F и 2F (рис. 1).
Части бруса постоянного сечения, заключенные между поперечными плоскостями (сечениями), в которых приложены одинаковые внешние силы (нагрузки или реакции связей) будем называть участками. Т. е. участок — это однородный кусок бруса и по форме, и по нагрузкам, и по площади сечения.

Изображенный на рис. 1 брус состоит из двух участков – от защемленного конца до места приложения силы F, и от силы F до свободного конца, к которому приложена сила 2F.
Применим метод сечений и определим продольные внутренние силы N1 и N2 на этих участках.
Сначала рассечем брус плоскостью 1-1 и мысленно отбросим правую часть бруса, заменив ее эквивалентными внутренними и внешними силами.
Применим уравнения равновесия для этой части бруса:

∑ Z = 0, следовательно: 2F – F – N1 = 0, откуда N1 = 2F – F = F.

Очевидно, что для сохранения равновесия части бруса достаточно приложить продольную силу. Нетрудно понять, что на втором участке бруса продольная сила в сечении 2-2 будет иметь другое значение: N2 = 2F.
Таким образом, продольная сила в поперечном сечении бруса равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения и в пределах каждого участка имеет одинаковое значение.
Последнее утверждение не совсем справедливо, поскольку в местах приложения внешних сил внутренние силы распределяются по сложным закономерностям, но с учетом рассмотренного ранее принципа смягчения граничных условий (принципа Сен-Венана), мы допускаем некоторую условную погрешность, незначительно влияющую на итоговый результат расчета.



При определении величины продольной силы алгебраическим сложением внешних сил следует обращать внимание на знаки (векторные значения) этих сил. При расчетах в сопромате обычно принимают растягивающие нагрузки (направленные от сечения) положительными, а сжимающие – отрицательными.

При изучении ряда деформаций мы будем мысленно представлять брусья состоящими из бесконечного количества волокон, расположенных параллельно оси бруса, и предполагать, что при деформации растяжения и сжатия эти волокна не надавливают друг на друга (гипотеза о не надавливании волокон).

Чтобы понять характер напряжений и деформаций, возникающих в сжимаемом или растягиваемом брусе, представим себе прямой брус из резины, на котором нанесена сетка из продольных и поперечных линий. Если такой брус подвергнуть деформации растяжения, можно заметить, что:

• поперечные линии на брусе остаются ровными и перпендикулярными оси бруса, а расстояния между ними увеличатся;
• продольные линии останутся прямыми, а расстояния между ними уменьшатся.

Из этого эксперимента следует, что при растяжении справедлива гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), и, следовательно, все волокна бруса удлинятся на одну и ту же величину. Все это позволяет сделать вывод, что при растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению. Эти напряжения можно определить по формуле:

σ = N / А,

где N – продольная сила, А – площадь поперечного сечения бруса.

Очевидно, что при растяжении и сжатии форма сечения бруса на величину напряжений не влияет.
Для наглядного изображения распределения продольных сил и нормальных напряжений вдоль оси бруса строят графики, называемые эпюрами (от французского «epure» — чертеж, график) , при этом на эпюрах при построении учитывают знаки (векторные значения) продольных сил и напряжений.

Для ступенчатого бруса, к которому приложены сжимающая 2F и растягивающая 3F силы на рис. 2 показаны соответствующие эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ.

Порядок построения эпюр таков: сначала под чертежом бруса проводят прямую линию, параллельную оси бруса (эта линия условно представляет брус), затем напротив каждого сечения бруса откладывают по этой линии величину силовых факторов: для положительных – вверх, для отрицательных — вниз. Масштаб при этом выбирается произвольный. Разумеется, перед построением эпюры необходимо подсчитать величину силовых факторов (сил, моментов сил или напряжений) в каждом участке бруса.
На полученном графике в кружках указываются знаки силовых факторов по участкам, на наружных углах ступенчатых переходов ставятся числовые значения этих силовых факторов, а вся площадь графика заштриховывается тонкими линиями, перпендикулярными оси.
Слева от оси эпюры указывается, какой силовой фактор на ней представлен.

По эпюрам, представленным на рис. 2 можно заметить, что в местах приложения внешних нагрузок и реакций внутренние силовые факторы изменяются скачкообразно (принцип Сен-Венана).
Визуальное исследование эпюры позволяет определить критические участки бруса, находящиеся в наиболее напряженном состоянии. Так, по представленным на рис. 2 эпюрам напряжений, возникающих в брусе, можно определить, что критическим является 2-й участок, поскольку здесь возникает наибольшее напряжение (по эпюре видно, что это напряжение сжатия, т. к. оно имеет отрицательное значение).

Кроме того, эпюра любого силового фактора позволяет (без применения лишних расчетов) определить силу или момент, действующие на брус со стороны, например, заделки, поскольку после построения эпюры со стороны свободного конца бруса эти силовые факторы отобразятся графически, без вычислений.

Ниже размещен видеоролик, в котором подробно объясняется порядок построения эпюр продольных сил и напряжений, возникающих в брусе при растяжении и сжатии, а также выводы, которые можно сделать на основе визуального анализа графиков.
Видеоурок ведет преподаватель ГОУ СПО «Нижнетагильский горно-металлургический колледж» Чирков А. С.

***

Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:

• Деформации при растяжении и сжатии. Потенциальная энергия деформации растяжения.
• Расчеты на прочность при растяжении и сжатии. Статически неопределимые задачи.
• Закон Гука

Смятие



Правильные ответы на вопросы Теста № 4