Гипотеза плоского сечения для растяжения и сжатия
Гипотезу плоских сечений при изгибе можно объяснить на примере: нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси) прямых линий. В результате изгиба балки продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные практически останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси балки.
Формулировка гипотезы плоских сечения: поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации.
Это обстоятельство свидетельствует: при изгибе выполняется гипотеза плоских сечений, как при растяжении и кручении
Помимо гипотезы плоских сечений принимается допущение: продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга.
Гипотезу плоских сечений и допущение называют гипотезой Бернулли.
Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, испытывающую чистый изгиб (
). Выделим элемент балки длиной 
(рис. 7.8. а). В результате изгиба поперечные сечения балки повернутся, образовав угол 
. Верхние волокна испытывают сжатие, а нижние растяжение. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим 
.
Условно считаем, что волокна изменяют свою длину, оставаясь при этом прямыми (рис. 7.8. б). Тогда абсолютное и относительное удлинения волокна, отстоящего на расстоянии y от нейтрального волокна:
По закону Гука:
Покажем, что продольные волокна, не испытывающие при изгибе балки ни растяжения, ни сжатия, проходят через главную центральную ось x.
Поскольку длина балки при изгибе не изменяется, продольное усилие (N), возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие 
.
С учетом выражения :
Множитель 
можно вынести за знак интеграла (не зависит от переменной интегрирования).
Выражение представляет статический момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси x. Он равен нулю, когда нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения. Следовательно, нейтральная ось (нулевая линия) при изгибе балки проходит через центр тяжести поперечного сечения.
Очевидно: изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, возникающими в точках поперечного сечения стержня. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой 
:
,
где 
– осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси x, а отношение 
— кривизна оси балки.
— жесткость балки при изгибе (чем больше, тем меньше радиус кривизны ).
Полученная формула представляет собой закон Гука при изгибе для стержня: изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении, пропорционален кривизне оси балки.
Выражая из формулы закона Гука для стержня при изгибе радиус кривизны () и подставляя его значение в формулу , получим формулу для нормальных напряжений (
) в произвольной точке поперечного сечения балки, отстоящей на расстоянии y от нейтральной оси x: 
.
В формулу для нормальных напряжений () в произвольной точке поперечного сечения балки следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента () и расстояния от точки до нейтральной оси (координаты y). Будет ли напряжение в данной точке растягивающим или сжимающим легко установить по характеру деформации балки или по эпюре изгибающих моментов, ординаты которой откладываются со стороны сжатых волокон балки.
Из формулы видно: нормальные напряжения () изменяются по высоте поперечного сечения балки по линейному закону. На рис. 7.8, в показана эпюра нормальных напряжений. Наибольшие напряжения при изгибе балки возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Если в поперечном сечении балки провести линию, параллельную нейтральной оси x, то во всех ее точках возникают одинаковые нормальные напряжения.
Несложный анализ эпюры нормальных напряжений показывает, при изгибе балки материал, расположенный вблизи нейтральной оси, практически не работает. Поэтому в целях снижения веса балки рекомендуется выбирать такие формы поперечного сечения, у которых большая часть материала удалена от нейтральной оси, как, например, у двутаврового профиля.
Источник
1. Принцип Сен-Венана – равномерное распределение упругих сил во всех поперечных сечениях. И только в сечениях, расположенных очень близко к местам приложения сил нельзя ожидать равномерного распределения сил упругости. Определение сил упругости в местах, лежащих близко к месту приложения внешних сил, представляет трудную задачу, не входящую в курс сопротивления материалов.
2. Гипотеза Я.Бернулли – сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.
Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось OZ всех внешних сил, приложенных к оставленной части.
В тех случаях, когда продольные силы в различных поперечных сечениях неодинаковы, закон их изменения по длине бруса удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил N=f(z).
Обозначим полученное удлинение Δl, его величина будет:
Δl=l – lo (мм)
Это приращение длины бруса называется полным или абсолютным удлинением при растяжении, а в случае сжатия бруса оно называется полным или абсолютным укорочением.
Абсолютное удлинение (укорочение) очевидно, зависит от первоначальной длины бруса, поэтому более удобной мерой деформации является удлинение (укорочение), отнесенное к первоначальной длине бруса.
Отношение
называется относительной продольной деформацией или относительным удлинением (укорочением).
Относительное удлинение (укорочение) не имеет размерности и выражается в процентах от первоначальной длины:
Нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса, выразим через продольную силу и площадь сечения:
Единица измерения или МПа – мегапаскаль.
Нагрузки и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678г. Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в теории сопротивления материалов.
(1) — закон Гука
Этот закон справедлив в пределах упругой деформации, но пропорциональность нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел пропорциональности, который устанавливается опытным путем.
Коэффициент Е называется модулем упругости первого рода или модулем продольной упругости (модулем Юнга).
Размерность у Е такая же как и у напряжения σ – мегапаскаль.
При одном и том же напряжении относительная деформация будет меньше у того материала, для которого Е будет больше. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала.
Величина модуля упругости устанавливается для материалов экспериментально. Ниже приведены средние значения Е для некоторых материалов при комнатной температуре.
Сталь
Чугун
Медь
Бронза
Алюминий
Дерево
Формулу (1) можно записать в другом виде, если учесть и :
(2) – формула Гука
Из формулы (2) следует, что абсолютное удлинение (укорочение), получаемое брусом, прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине бруса и обратно пропорционально величине — жесткости сечения.
Формулы (1) и (2) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие.
Источник
· Гипотеза плоских сечений предполагает, что все сечения элемента остаются плоскими при деформировании. Если линия действия внешней силы строго совпадает с продольной осью бруса, то в его поперечном сечении возникает единственный силовой фактор — продольная сила .Гипотеза плоск. сеч.при центральном растяжении или сжатии плоские поперечные сечения бруса в процессе его деформации сохраняются плоскими, и лишь перемещаются параллельно самим себе.
Что называется напряжением? На какие составляющие принято раскладывать полное напряжение в точке сечения? Как они называются?
· Напряжение – это векторная величина, кот. характеризует интенсивность распределения внутренних сил в поперечном сечении тела.
При уменьшении размеров площадки соответственно уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил, причем главный момент уменьшается в большей степени. В пределе при получим полное напряжение в точке:
Вектор полного напряжения раскладывается как правило по 3 – м взаимно перпендик. направлениям: нормальное напряжение проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению, касательное напряжение – проекция вектора полного напряжения на ось, лежащую в плоскости сечения.
Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при растяжении-сжатии? Как вычисляются эти напряжения? Как они направлены?
· в попер. сечении д – т нормальные напряжения σ=N/A. На наклонной площадке полные напряжения рα = направлены вдоль продольной оси и распределены равномерно=σ cos α. Это полное напряжение разложим на нормальное и касательное: σα =рα cos α= σ cos α cos α = σ cos2 α ,
τα= рα sin α= σ cos α sin α=σ/2 sin 2α.
-на площадках, совпадающих с поперечным сечением при α=0, σα= σmax=σz=N/A, τα=0,
-на площ., наклоненных под углом 450: σα= σz/2= N/A, τα= τmax= σz/2
-на продольных площ.(при α=900) : σα= τα=0.
По каким сечениям действуют максимальные нормальные и касательные напряжения при растяжении-сжатии?
· -на площадках, совпадающих с поперечным сечением при α=0, σα= σmax=σz=N/A, -на площ., наклоненных под углом 450: τα= τmax= σz/2
Что называют пределом пропорциональности, пределом упругости, пределом текучести, пределом прочности (временным сопротивлением)?
· Предел пропорциональности – условное напряжение до которого наблюдается линейная зависимость м/напряж. и деформацией (м/силой и удлинением) – з. Гука.
Предел упругости –такое наибольшее напряжение, до кот. материал не получает остаточных деформаций.
Предел текучести – усл. напряжение при кот. происходит рост деформации при постоянном напряжении.
Предел прочности – усл. напряжение, соответствующее максимальной нагрузке.
7. Изобразить примерный вид диаграммы растяжения образца из мягкой стали, показать характерные зоны на этой диаграмме.
· О1-зона упругости, 2С-зона общей текучести, С3 – зона упрочнения, 34 – зона местной текучести.
Какие свойства материала характеризуют относительное остаточное удлинение и относительное остаточное сужение в месте разрыва?
· относительное остаточное удлинение : , относительное остаточное сужение: характеризуют пластические свойства материалов.
Какие величины характеризуют степень пластичности материала.
- относительное остаточное сужение, относительное остаточное удлинение.
10.Что называется «наклепом» и как он используется в технике?
· Наклеп – повышение упругих св-в материала за счет предварительного нагружения стержня за зону текучести, с последующей разгрузкой. Такой обработке подвергаются некоторые виды арматуры, цепи и канаты подьемных машин(чтобы устранить остаточные удлинения).
Чему равна работа затраченная на разрыв образца?
· Площадь, заключенная под первичной диаграммой растяжения , численно равна работе, затраченной на разрушение образца.
Чему равна работа затраченная на упругую деформацию после разрыва образца?
· площадь треугольника О1перп.
13. Как определить работу, затраченную на пластическую деформацию
после разрыва образца?
· площадь фигуры О3перп.???
Как по диаграмме растяжения определить абсолютное остаточное
Источник
Макеты страниц
Ставя своей задачей определение только нормальных напряжений изгиба, в основу теории достаточно положить гипотезу о том, что плоские до деформации поперечные сечения балки остаются после деформации плоскими и перпендикулярными деформированной оси. Теория изгиба, построенная на гипотезе плоских сеченнй, была в основном завершена уже Л. Эйлером и носит название теории Бернулли — Эйлера или технической теории изгиба. Точная теория изгиба, построенная Сен-Венаном для того случая, когда балка загружена сосредоточенными силами, а также немногочисленные строгие решения задачи об изгибе распределенной нагрузкой приводят к заключению, что, хотя гипотеза Бернулли не вполне верна, все же основанные на ней расчеты оказываются весьма точными.
Рис. 147.
Гипотеза плоских сечений позволяет составить представление о характере деформированного состояния стержня. Рассмотрим два бесконечно близких сечения балки на расстоянии одно от другого (рис. 147). Попытаемся определить деформацию элемента параллельного оси и заключенного между двумя сечениями; длина его есть Поместим оси координат х и у в плоскости левого сечения, координаты точки суть х, у, 0; точки — суть . Будем изучать перемещение правого сечения относительно левого, считая последнее неподвижным. Деформация изгиба заключается в том, что правое сечение, во-первых, перемещается вдоль оси z на величину , во-вторых, поворачивается относительно оси х на угол и, наконец, поворачивается около оси у на угол .
Вследствие параллельного перемещения сечения отрезок получает удлинение следовательно, относительное удлинение его есть .
Вследствие поворота около оси х точка переместится на длину значит, относительное удлинение отрезка будет . Аналогично находим, что от поворота вокруг оси у удлинение есть . Полное удлинение отрезка есть
(102.1)
Легко видеть, что суть кривизны проекций изогнутой оси на координатные плоскости.
В теории изгиба употребляют термин «волокно», уподобляя сплошное вещество, из которого сделан стержень, веществу волокнистой структуры типа дерева. Нужно помнить, что такое уподобление неправильно. Мы будем называть волокном материальную линию, бывшую до деформации прямой, параллельной оси стержня. Координаты х и у точки пересечения волокна с плоскостью любого поперечного сечения назовем координатами волокна. Таким образом, уравнение (102.1) показывает, что удлинение волокна есть линейная функция его координат.
Рис. 148.
Для перехода к напряжениям важно отметить, что напряженное состояние волокна является состоянием простого растяжения; в плоскостях, параллельных оси стержня, нормальные напряжения отсутствуют. Последнее нужно понимать только в том смысле, что эти напряжения весьма малы по сравнению с остальными напряжениями изгиба. Действительно, обратимся к рис. 148, на котором изображена балка квадратного сечения со стороной b и длиной загруженная распределенным по верхней плоскости давлением . Вся сила, действующая на балку, есть
Пользуясь оценкой для , найдем:
Рассечем балку горизонтальной плоскостью. Очевидно, что в этой плоскости будут действовать нормальные напряжения о причем если плоскость близка к верхней граничной плоскости, то о весьма мало отличается от ; если плоскость сечения близка к нижней граничной плоскости, то мало отличается от нуля.
Поэтому
Сравнивая , видим, что очень мало по сравнению с . Если порядок малости касательных напряжений есть то порядок малости есть этим напряжением можно пренебрегать и подавно.
Итак, будем считать, что каждое волокно растягивается в продольном направлении, причем напряжение связано с законом Гука в его простейшей форме:
Из формулы (102.1) получаем:
(102.2)
Очевидно, рассуждения, приведшие нас к убеждению, что каждое волокно можно считать находящимся в условиях простого растяжения, теряют силу тогда, когда к балке приложена сосредоточенная сила. Части балки, непосредственно примыкающие к месту приложения сосредоточенных сил, не могут рассчитываться по схеме плоских сечений: здесь возникают местные напряжения. Область, в которой отступления от закона плоских сечений существенны, невелика, длина ее имеет порядок поперечного размера. Для изгиба сохраняет силу принцип Сен-Венана, подробно освещенный в § 17 для растяжения-сжатия. Все сказанное там сохраняет силу и для изгиба.
Подчеркнем, что гипотеза плоских сечений и принцип Сен-Венана справедливы лишь для длинных стержней сплошного профиля, то есть имеющих поперечные размеры одного порядка. Для тонкостенных стержней, когда один поперечный размер значительно больше другого, оценки относительных порядков величин нормальных и касательных напряжений перестают быть справедливыми, гипотеза плоских сечений теряет силу и принцип Сен-Венана становится неприменимым.
Источник
КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Основные понятия и зависимости
Растяжение и сжатие
Лекция № 3
При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила, обозначаемая NZ или N.
Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, называют стержнями.
Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия – отрицательными.
При растяжении продольная сила направлена от сечения, а при сжатии – к сечению.
1. Принцип Сен-Венана: равномерное распределение упругих сил во всех поперечных сечениях. И только в сечениях, расположенных очень близко к местам приложения сил нельзя ожидать равномерного распределения сил упругости. Определение сил упругости в местах, лежащих близко к месту приложения внешних сил, представляет трудную задачу, не входящую в курс сопротивления материалов.
2. Гипотеза Я. Бернулли: сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.
Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось OZ всех внешних сил, приложенных к оставленной части.
В тех случаях, когда продольные силы в различных поперечных сечениях неодинаковы, закон их изменения по длине бруса удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил N=f(z).
Обозначим полученное удлинение Δl, его величина будет:
Δl=l – lo (мм)
Это приращение длины бруса называется полным или абсолютным удлинением при растяжении, а в случае сжатия бруса оно называется полным или абсолютным укорочением.
Абсолютное удлинение (укорочение), очевидно, зависит от первоначальной длины бруса, поэтому более удобной мерой деформации является удлинение (укорочение), отнесенное к первоначальной длине бруса.
Отношение
называется относительной продольной деформацией или относительным удлинением (укорочением).
Относительное удлинение (укорочение) не имеет размерности и выражается в процентах от первоначальной длины:
Нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса, выразим через продольную силу и площадь сечения:
Единица измерения или МПа – мегапаскаль.
Нагрузки и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678г. Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в теории сопротивления материалов.
(1) — закон Гука
Этот закон справедлив в пределах упругой деформации, но пропорциональность нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел пропорциональности, который устанавливается опытным путем.
Коэффициент Е называется модулем упругости первого рода или модулем продольной упругости (модулем Юнга).
Размерность у Е такая же как и у напряжения σ – мегапаскаль.
При одном и том же напряжении относительная деформация будет меньше у того материала, для которого Е будет больше. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала.
Величина модуля упругости устанавливается для материалов экспериментально. Ниже приведены средние значения Е для некоторых материалов при комнатной температуре.
Сталь
Чугун
Медь
Бронза
Алюминий
Дерево
Формулу (1) можно записать в другом виде, если учесть и :
(2) – формула Гука
Из формулы (2) следует, что абсолютное удлинение (укорочение), получаемое брусом, прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине бруса и обратно пропорционально величине — жесткости сечения.
Формулы (1) и (2) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие.
Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 388; Нарушение авторских прав?
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
Источник