Формула растяжения пружины при ускорении
При колебаниях пружины восстанавливающая сила обусловлена ее упругостью. В определенных пределах, согласно закону Гука, вызванная деформацией сила пропорциональна величине деформации.
Поэтому упругие колебания являются гармоническими. В случае пружин величина жесткости обычно обозначается через k и именуется коэффициентом упругости пружины.
| k | коэффициент упругости пружины, | Ньютон / метр |
|---|---|---|
| F | сила, вызывающая деформацию Δl, | Ньютон |
| Δl | удлинение, прогиб или другое изменение формы, | метр |
| ω | угловая частота, | радиан / секунда |
| f | линейная частота, | Герц |
| T | период, длительность полного колебания, | секунда |
| m | масса колебательной системы, обычно тела, укрепленного на пружине, | кг |
И в соответствии с (9)
Масса самой пружины в (3, 4, 5) не учитывается. При точных расчетах массу m следует увеличить приблизительно на mпр/ 3 ( mпр — масса пружины).
Величины ω, f и T не зависят от амплитуды.
Для определения устойчивости и сопротивления к внешним нагрузкам используется такой параметр, как жесткость пружины. Также он называется коэффициентом Гука или упругости. По сути, характеристика жесткости пружины определяет степень ее надежности и зависит от используемого материала при производстве.
Измерению коэффициента жесткости подлежат следующие типы пружин:
Изготовление пружин любого типа вы можете заказать здесь.
Какую жесткость имеет пружина
При выборе готовых пружин, например для подвески автомобиля, определить, какую жесткость она имеет, можно по коду продукта либо по маркировке, которая наносится краской. В остальных случаях расчет жесткости производится исключительно экспериментальными методами.
Жесткость пружины по отношению к деформации бывает величиной переменной или постоянной. Изделия, жесткость которых при деформации остается неизменной называются линейными. А те, у которых есть зависимость коэффициента жесткости от изменения положения витков, получили название «прогрессивные».
В автомобилестроении в отношении подвески существует следующая классификация жесткости пружин:
- Возрастающая (прогрессирующая). Характерна для более жесткого хода автомобиля.
- Уменьшающаяся (регрессирующая) жесткость. Напротив, обеспечивает, «мягкость» подвески.
Определение величины жесткости зависит от следующих исходных данных:
- Тип сырья, используемый при изготовлении;
- Диаметр витков металлической проволоки (Dw);
- Диаметр пружины (в расчет берется средняя величина) (Dm);
- Число витков пружины (Na).
Как рассчитать жесткость пружины
Для расчета коэффициента жесткости применяется формула:
k = G * (Dw)^4 / 8 * Na * (Dm)^3,
где G – модуль сдвига. Данную величину можно не рассчитывать, так как она приведена в таблицах к различным материалам. Например, для обыкновенной стали она равна 80 ГПа, для пружинной – 78,5 ГПа. Из формулы понятно, что наибольшее влияние на коэффициент жесткости пружины оказывают оставшиеся три величины: диаметр и число витков, а также диаметр самой пружины. Для достижения необходимых показателей жесткости изменению подлежат именно эти характеристики.
Вычислить коэффициент жесткости экспериментальным путем можно при помощи простейших инструментов: самой пружины, линейки и груза, который будет воздействовать на опытный образец.
Определение коэффициента жесткости растяжения
Для определения коэффициента жесткости растяжения производятся следующие расчеты.
- Измеряется длина пружины в вертикальном подвесе с одной свободной стороной изделия – L1;
- Измеряется длина пружины с подвешенным грузом – L2.Если взять груз массой 100гр., то он будет воздействовать силой в 1Н (Ньютон) – величина F;
- Вычисляется разница между последним и первым показателем длины – L;
- Рассчитывается коэффициент упругости по формуле: k = F/L.
Определение коэффициента жесткости сжатия производится по этой же формуле. Только вместо подвешивания груз устанавливается на верхнюю часть вертикально установленной пружины.
Подводя итог, делаем вывод, что показатель жесткости пружины является одной из существенных характеристик изделия, которая указывает на качество исходного материала и определяет долговечность использования конечного изделия.
Формулы и способы расчета пружин из стали круглого сечения по ГОСТ 13765
Пружина сжатия Пружина растяжения
| Наименование параметра | Обозначение | Расчетные формулы и значения |
|---|---|---|
| Сила пружины при предварительной деформации, Н | F 1 | Принимается в зависимости от нагрузки пружины |
| Сила пружины при рабочей деформации (соответствует наибольшему принудительному перемещению подвижного звена в механизме), Н | F 3 | Принимается в зависимости от нагрузки пружины |
| Рабочий ход пружины, мм | h | Принимается в зависимости от нагрузки пружины |
| Наибольшая скорость перемещения подвижного конца пружины при нагружении или разгрузке, м/с | v max | Принимается в зависимости от нагрузки пружины |
| Выносливость пружины, число циклов до разрушения | N F | Принимается в зависимости от нагрузки пружины |
| Наружный диаметр пружины, мм | D 1 | Предварительно принимаются с учетом конструкции узла. Уточняются по таблицам ГОСТ 13766…ГОСТ 13776 |
| Относительный инерционный зазор пружины сжатия. Для пружин растяжения служит ограничением максимальной деформации | δ | δ = 1 — F 2 / F 3 (1) Для пружин сжатия классов I и II δ = 0,05 — 0,25 для пружин растяжения δ = 0,05 — 0,10 для одножильных пружин класса III δ = 0,10 — 0,40 для трехжильных класса III δ = 0,15 — 0,40 |
| Сила пружины при максимальной деформации, Н | F 3 |
Уточняется по таблицам ГОСТ 13766 ÷ ГОСТ 13776
s» (при F > 0)
Для трехжильных пружин
Для трехжильных пружин
G = 7,85 х 10 4
где g — ускорение свободного падения, м/с 2
γ — удельный вес, Н/м 3
Для пружинной стали ρ = 8•10 3
Для пружин с предварительным напряжением
Для трехжильных пружин
где n2 — число опорных витков
Для трехжильных пружин
Для трехжильных пружин
Рекомендуется назначать от 4 до 12
| i | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 | 6,0 | 7,0 и более |
| Δ | 1,029 | 1,021 | 1,015 | 1,010 | 1,005 | 1,000 |
где n3 — число обработанных витков
Для трехжильных пружин
Для пружин растяжения с зацепами
Для пружин растяжения
Для пружин растяжения
Для трехжильных пружин
Для пружин растяжения
Для трехжильных пружин
Для пружин растяжения с предварительным напряжением
Методика определения размеров пружин
Исходными величинами для определения размеров пружин являются силы F 1 и F 2, рабочий ход h, наибольшая скорость перемещения подвижного конца пружины при нагружении или при разгрузке v max, выносливость N F и наружный диаметр пружины D 1 (предварительный).
Если задана только одна сила F2 , то вместо рабочего хода h для подсчета берут величину рабочей деформации s 2, соответствующую заданной силе
По величине заданной выносливости NF предварительно определяют принадлежность пружины к соответствующему классу
По заданной силе F 2 и крайним значениям инерционного зазора δ вычисляют по формуле (2) значение силы F 3
По значению F 3, пользуясь таблицей, предварительно определяют разряд пружины
По таблицам «Параметры пружин» находят строку, в которой наружный диаметр витка пружины наиболее близок к предварительно заданному значению D 1. В этой же строке находят соответствующие значения силы F 3 и диаметра проволоки d
Для пружин из закаливаемых марок сталей максимальное касательное напряжение τ 3 находят по таблице, для пружин из холоднотянутой и термообработанной проволоки τ 3 вычисляют с учетом значений временного сопротивления Rm . Для холоднотянутой проволоки Rm определяют из ГОСТ 9389, для термообработанной — из ГОСТ 1071
По полученным значениям F 3 и τ 3, а также по заданному значению F 2 по формулам (5) и (5а) вычисляют критическую скорость vK и отношение vmax / vK , подтверждающее или отрицающее принадлежность пружины к предварительно установленному классу.
При несоблюдении условий vmax / vK < 1 пружины I и II классов относят к последующему классу или повторяют расчеты, изменив исходные условия. Если невозможно изменение исходных условий, работоспособность обеспечивается комплектом запасных пружин
По окончательно установленному классу и разряду в соответствующей таблице на параметры витков пружин, помимо ранее найденных величин F3, D1 и d, находят величины c1 и s3 , после чего остальные размеры пружины и габариты узла вычисляют по формулам (6)-(25)
Источник
Определение и формула жесткости пружины
Определение
Силу, которая возникает в результате деформации тела и пытающаяся вернуть его в исходное состояние, называют силой упругости.
Чаще всего ее обозначают ${overline{F}}_{upr}$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.
Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.
Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($overline{F}$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).
Силу $overline{F }$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости (${overline{F}}_u$), уравновешивающая силу $overline{F }$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:
[overline{F}=kDelta lleft(1right),]
где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.
Жесткость (как свойство) — это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости — это основная характеристика жесткости (как свойства тела).
Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:
[k=frac{Gd^4}{8d^3_pn}left(2right),]
где $G$ — модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ — диаметр проволоки; $d_p$ — диаметр витка пружины; $n$ — количество витков пружины.
Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:
[left[kright]=left[frac{F_{upr }}{x}right]=frac{left[F_{upr }right]}{left[xright]}=frac{Н}{м}.]
Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.
Формула жесткости соединений пружин
Пусть $N$ пружин соединены последовательно. Тогда жесткость всего соединения равна:
[frac{1}{k}=frac{1}{k_1}+frac{1}{k_2}+dots =sumlimits^N_{ i=1}{frac{1}{k_i}left(3right),}]
где $k_i$ — жесткость $i-ой$ пружины.
При последовательном соединении пружин жесткость системы определяют как:
[k=k_1+k_2+dots +sumlimits^N_{i=1}{k_i}left(4right).]
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Пружина в отсутствии нагрузки имеет длину $l=0,01$ м и жесткость равную 10 $frac{Н}{м}. $Чему будет равна жесткость пружины и ее длина, если на пружину действовать силой $F$= 2 Н? Считайте деформацию пружины малой и упругой.
Решение. Жесткость пружины при упругих деформациях является постоянной величиной, значит, в нашей задаче:
[k=k’left(1.1right).]
При упругих деформациях выполняется закон Гука:
[F=kDelta l left(1.2right).]
Из (1.2) найдем удлинение пружины:
[Delta l=frac{F}{k}left(1.3right).]
Длина растянутой пружины равна:
[l’=l+Delta l=l+frac{F}{k}.]
Вычислим новую длину пружины:
[l’=0,01+frac{2}{10}=0,21 left(мright).]
Ответ. 1) $k’=10 frac{Н}{м}$; 2) $l’=0,21$ м
Пример 2
Задание. Две пружины, имеющие жесткости $k_1$ и $k_2$ соединили последовательно. Какой будет удлинение первой пружины (рис.3), если длина второй пружины увеличилась на величину $Delta l_2$?
Решение. Если пружины соединены последовательно, то деформирующая сила ($overline{F}$), действующая на каждую из пружин одинакова, то есть можно записать для первой пружины:
[F=k_1Delta l_1left(2.1right).]
Для второй пружины запишем:
[F=k_2Delta l_2left(2.2right).]
Если равны левые части выражений (2.1) и (2.2), то можно приравнять и правые части:
[k_1Delta l_1=k_2Delta l_2left(2.3right).]
Из равенства (2.3) получим удлинение первой пружины:
[Delta l_1=frac{k_2Delta l_2}{k_1}.]
Ответ. $Delta l_1=frac{k_2Delta l_2}{k_1}$
Читать дальше: формула закона Архимеда.
Источник
Для пружин сжатия классов I и II
δ = 0,05 — 0,25
для пружин растяжения
δ = 0,05 — 0,10
для одножильных пружин класса III
δ = 0,10 — 0,40
для трехжильных класса III
δ = 0,15 — 0,40
Уточняется по таблицам ГОСТ 13766 ÷ ГОСТ 13776
s» (при F0 > 0)
Для трехжильных пружин
Для трехжильных пружин
G = 7,85 х 104
где g — ускорение свободного падения, м/с2
γ — удельный вес, Н/м3
Для пружинной стали ρ = 8•103
Для пружин с предварительным напряжением
Для трехжильных пружин
где n2 — число опорных витков
Для трехжильных пружин
Для трехжильных пружин
Рекомендуется назначать от 4 до 12
| i | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 | 6,0 | 7,0 и более |
| Δ | 1,029 | 1,021 | 1,015 | 1,010 | 1,005 | 1,000 |
где n3 — число обработанных витков
Для трехжильных пружин
Для пружин растяжения с зацепами
Для пружин растяжения
Для пружин растяжения
Для трехжильных пружин
Для пружин растяжения
Для трехжильных пружин
Для пружин растяжения с предварительным напряжением
Источник
1. Твёрдые тела под действием силы способны изменять свои форму и (или) объём. Взяв за концы металлическую линейку, можно её согнуть. Если перестать прикладывать силу, то линейка восстановит свою форму. Если сжать пружину (рис. 35), то она сократится, т.е. деформируется. При прекращении действия силы пружина вернётся в первоначальное
состояние.
Изменение формы или объёма тела при действии на него силы называется деформацией.
Если длина пружины в недеформированном состоянии ( l_0 ), а после растяжения ( l ), то изменение её длины ( l=l-l_0=x ), где ( l ) или ( x ) – удлинение или деформация.
2. При деформации в теле возникает сила упругости, которая стремится вернуть его в первоначальное состояние. Сила упругости ( (vec{F}_{упр}) ) — сила, возникающая в теле в результате деформации, стремящаяся вернуть тело в первоначальное состояние и направленная в сторону, противоположную деформации (удлинению).
Так, при растяжении пружины эта сила направлена влево к положению равновесия, при
сжатии пружины сила упругости направлена вправо (рис. 36).
Если тело после прекращения действия силы принимает первоначальную форму, то деформация является упругой. Если тело после прекращения действия силы не принимает первоначальную форму, то деформация является неупругой или пластической.
3. При малых деформациях сила упругости прямо пропорциональна удлинению. Поскольку сила упругости и деформация направлены в противоположные стороны, то: ( F_{упр}=-kDelta l ), где ( k ) — коэффициент пропорциональности, называемый жёсткостью тела. Жёсткость зависит от размеров тела, его формы, материала, из которого сделано тело.
Единица жесткости ( [,k,]=frac{[,F,]}{[,Delta l,]} ); ( [,k,]=frac{1,Н}{1,м}=1frac{Н}{м} ).
Формула ( F_{упр}=-kDelta l ) выражает закон Гука: сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению (деформации) тела и направлена в сторону, противоположную деформации.
Важно понимать, что закон Гука справедлив при малых деформациях.
На рисунке 37 приведён график зависимости модуля силы упругости от деформации. Поскольку эта зависимость линейная, то графиком зависимости является прямая, проходящая через начало координат и составляющая угол ( alpha ) с осью абсцисс. По графику можно определить жёсткость тела. Например, значению деформации 2 см соответствует сила упругости 4 Н. Разделив 4 Н на 0,02 м, получим ( k ) = 200 Н/м. В треугольнике АОВ жёсткость ( k ) равна тангенсу угла ( alpha ): ( k=mathrm{tg}alpha ).
4. Существуют разные виды деформации: растяжения, сжатия, сдвига, изгиба и кручения. В рассмотренных примерах линейка подвергалась деформации изгиба, пружина — деформации растяжения и сжатия, винты, гайки, болты при закручивании испытывают деформацию кручения, тяжёлые предметы при перемещении по полу — деформацию сдвига.
5. Предположим, что на полу стоит ящик (рис. 38). На него действует сила тяжести ( vec{F}_т ), направленная вертикально вниз. Ящик, взаимодействуя с полом, деформирует его и деформируется сам. И на ящик, и на пол действует сила упругости, характеризующая их взаимодействие. Сила упругости ( vec{N} ), действующая на ящик со стороны пола, приложена к ящику и направлена вертикально вверх; сила упругости ( vec{P} ), действующая со стороны ящика на пол, приложена к полу и направлена вертикально вниз. Эта сила называется весом тела.
Весом тела называют силу, с которой тело, вследствие его притяжения к Земле, действует на опору или подвес. В отличие от силы тяжести, вес тела приложен не к телу, а к опоре или к подвесу. Вес — это сила упругости.
6. Если тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, вес тела численно равен силе тяжести, действующей на него: ( vec{P}=mvec{g} ).
На тело, движущееся вместе с платформой или подвесом вертикально вниз с ускорением ( vec{a} ), направленным в сторону движения, действуют сила тяжести ( vec{F}_{т} ) и сила упругости ( N ) со стороны опоры или подвеса (рис. 39, 40).
Второй закон Ньютона для этой ситуации: ( mvec{g}+vec{N}=mvec{a} ). В проекциях на координатную ось: ( mg-N=ma ) или ( N=mg-ma ). Поскольку ( N=P ), ( P = m(g — a) ).
Если тело движется вниз вместе с опорой или подвесом с ускорением, направленным так же, как и ускорение свободного падения, то его вес меньше силы тяжести, т.е. меньше веса покоящегося тела. Если ускорение тела равно ускорению свободного падения ( vec{a}=vec{g} ), то тело находится в состоянии невесомости.
В таком состоянии находится космонавт в космическом корабле, прыгун с трамплина во время полёта вниз.
7. На тело, движущееся вместе с платформой или подвесом вертикально вверх с ускорением ( vec{a} ), направленным в сторону движения, действуют сила тяжести ( vec{F}_т ) и сила упругости ( vec{N} ) со стороны опоры или подвеса (рис. 40).
Второй закон Ньютона для этой ситуации: ( mvec{g}+vec{N}=mvec{a} ). В проекциях на координатную ось: ( mg-N=-ma ) или ( N=mg+ma ). Поскольку ( N=P ), ( P=m(g+a) ).
Таким образом, если тело движется вверх вместе с опорой или подвесом с ускорением, направленным противоположно ускорению свободного падения, то его вес больше силы тяжести, т.е. больше веса покоящегося тела. Увеличение веса тела при движении с ускорением называют перегрузкой. Перегрузки испытывают космонавт в космическом корабле, пилот реактивного самолёта при взлёте и посадке.
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Часть 1
1. Имеются две абсолютно упругие пружины. Под действием одной и той же силы первая пружина удлинилась на 8 см, а вторая — на 4 см. Сравните жёсткость ( k_2 ) второй пружины с жёсткостью ( k_1 ) первой пружины.
1) ( k_1=k_2 )
2) ( 4k_1=k_2 )
3) ( 2k_1=k_2 )
4) ( k_1=2k_2 )
2. Имеются две абсолютно упругие пружины: одна жёсткостью 200 Н/м, другая жёсткостью 400 Н/м. Сравните силу упругости ( F_2 ), возникающую во второй пружине, с силой упругости ( F_1 ), возникающей в первой пружине, при одинаковом их удлинении.
1) ( F_2=F_1 )
2) ( F_2=4F_1 )
3) ( 2F_2=F_1 )
4) ( 0.5F_2=F_1 )
3. Ученик, растягивая пружину динамометра последовательно на 1Н, 2Н, ЗН и 4Н, каждый раз измерял её удлинение и результаты измерений вносил в таблицу. Определите по данным таблицы жёсткость пружины динамометра.
1) 0,02 Н/м
2) 0,5 Н/м
3) 2 Н/м
4) 50 Н/м
4. На рисунке приведены графики зависимости силы упругости от удлинения. Сравните жёсткость пружин.
1) ( k_2=k_1 )
2) ( k_2>k_1 )
3) ( k_2<k_1 )
4) ( k_2geq k_1 )
5. Учащийся выполнял эксперимент по измерению удлинения ( x ) пружин при подвешивании к ним грузов. Полученные учащимся результаты представлены на рисунке в виде диаграммы. Какой вывод о жёсткости пружин ( k_1 ) и ( k_2 ) можно сделать из анализа диаграммы, если к концам пружин были подвешены грузы одинаковой массы?
1) ( k_2=4k_1 )
2) ( k_1=2k_2 )
3) ( k_2=2k_1 )
4) ( k_1=k_2 )
6. Под действием силы 3 Н пружина удлинилась на 4 см. Чему равна сила, под действием которой удлинение этой пружины составит 6 см?
1) 3,5 Н
2) 4 Н
3) 4,5 Н
4) 5 Н
7. Две пружины растягиваются одинаковыми силами. Жёсткость первой пружины ( k_1 ) в 2 раза больше жесткости второй пружины ( k_2 ). Удлинение первой пружины ( Delta l_1 ), удлинение второй пружины ( Delta l_2 ) равно
1) ( 0.5Delta l_1 )
2) ( 0.67Delta l_1 )
3) ( 1.5Delta l_1 )
4) ( 2.5Delta l_1 )
8. В лифте, движущемся вниз равноускоренно из состояния покоя, стоит ящик. Модуль веса ящика
1) равен модулю силы тяжести
2) больше модуля силы тяжести
3) меньше модуля силы тяжести
4) увеличивается с увеличением скорости лифта
9. Человек испытывает перегрузки при
1) равномерном движении вниз
2) равномерном движении вверх
3) равноускоренном движении вверх из состояния покоя
4) равноускоренном движении вниз с ускорением свободного падения
10. Различие веса тела на экваторе и на полюсе можно обнаружить
А. Взвешивая тело на рычажных весах
Б. Взвешивая тело на пружинных весах
Правильный ответ
1)только А
2)только Б
3) и А, и Б
4) ни А, ни Б
11. Установите соответствие между физической величиной (левый столбец) и характером её изменения (правый столбец) при растяжении пружины динамометра. В ответе запишите подряд номера выбранных ответов
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A. Модуль силы упругости пружины
Б. Жёсткость пружины
B. Модуль удлинения пружины
ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) уменьшается
2) увеличивается
3) не изменяется
12. Из приведённых ниже высказываний выберите два верных и запишите их номера в таблицу.
1) Закон Гука справедлив при любых деформациях.
2) Сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации.
3) Жёсткость зависит только от материала, из которого изготовлено тело.
4) Вес тела всегда равен действующей на него силе тяжести.
5) Вес приложен к опоре или к подвесу.
Часть 2
13. Груз массой 5 кг начинают поднимать вертикально вверх с ускорением 2 м/с2. Чему равен вес груза?
Ответы
Сила упругости. Вес тела
5 (100%) 1 vote
Источник