Дифференциальные зависимости при растяжении
Тема 3
Центральное растяжение – сжатие стержня
Лекция №3
3.1 Внутренние усилия при растяжении и сжатии.
3.2 Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
3.3 Закон Гука при растяжении и сжатии.
3.4 Определение перемещений в общем случае растяжения и сжатия.
3.5 Обобщенный закон Гука.
3.6 Относительное изменение объема параллелепипеда.
3.7 Напряжения в сечениях, наклонных к оси стержня, при растяжении и сжатии.
Основные понятия.
Внутренние усилия при растяжении сжатии: Чистое центральное растяжение (ЧЦР), центральное растяжение (ЦР), правило знаков для продольной силы N, принцип Сен-Венана, гипотеза плоских сечений, выражение нормальных напряжений через продольную силу.
Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
Закон Гука при растяжении и сжатии: абсолютная и относительная деформации, коэффициент Пуассона.
Обобщенный закон Гука: формулы обобщенного закона Гука, относительное изменение объема параллелепипеда.
3.1 Внутренние усилия при растяжении и сжатии.
Рассмотрим стержень, по торцам которого приложены поверхностные силы интенсивность (рис. 3.1). Площадь поперечного сечения стержня . Равнодействующая внешних сил совпадает с осью стержня. Такой вид деформации стержня называется чистым центральным растяжением (ЧЦР).
Рис. 3.1 Чистое центральное растяжение (ЧЦР).
Если внешние силы распределены по торцам неравномерно (рис. 3.2), но приводятся к равнодействующей сливающейся с осью стержня, то такой вид деформации стержня называется центральным растяжением (ЦР).
Рис. 3.2 Центральное растяжение (ЦР).
При ЧЦР (ЦС) в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила .
Условимся: продольную силу считать положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению.
Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные его оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси и после деформации.
Из этой гипотезы следует, что все продольные волокна деформируются одинаково и нормальные напряжения, вызывающие эти деформации также должны быть одинаковыми и, следовательно, распределены по поперечному сечению равномерно, т.е. . С учетом формулы (см. (2.3)) получаем формулу для нормальных напряжений при ЧЦР:
| . | (3.1) |
Формула (3.1) справедлива и при центральном растяжении, но только в точках, находящихся на достаточном удалении от места приложения внешних сил (принцип Сен-Венана).
Экспериментальная проверка принципа Сен-Венана при центральном растяжении будет демонстрироваться при проведении лабораторной работы №17.
Пример 3.1 Определение внутренних усилий при растяжении и сжатии.
Рис. 3.3 Определение продольной силы на участках стержня.
Начало координат выбираем на свободном конце стержня. Стержень разбиваем на два участка. Проводим сечение 1-1 в произвольном месте 1-го участка и рассматриваем равновесие части стержня слева от проведенного сечения, определяем продольную силу из уравнения равновесия. Аналогично определяем .
На рис.3.4 показан график изменения продольной силы по длине стержня (эпюра). Заметим, что в точке приложения сосредоточенной силы эпюра продольных сил делает скачок равный по величине этой силе.
Рис. 3.4 Эпюра продольных сил.
Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
Рис. 3.5 Вывод дифференциальной зависимости между и .
Обозначим — интенсивность распределенной нагрузки, действующей на стержень. Тогда уравнение равновесия элемента стержня ( ) примет вид: . В результате получаем искомую дифференциальную зависимостьмежду продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки
| . | (3.2) |
3.3 Закон Гука при растяжении и сжатии.
Рассмотрим чистое центральное растяжение стержня силами интенсивностью . Будем считать, что внешние силы вызывают в стержне только упругие деформации, т.е. после снятия нагрузки стержень принимает свою первоначальную форму и размеры.
Рис. 3.7 Продольные и поперечные деформации стержня.
Введем обозначения:
На основе серии опытов со стержнями из различных материалов были установлены следующие положения закона Гука:
1) абсолютное удлинение стержня прямо пропорционально продольной силе , длине и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости материала стержня
| . | (3.3) |
2) относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации
| (3.4) |
В формуле (3.4) —коэффициент Пуассона, безразмерная величина. Знак минус в формуле (3.4) означает, что если в направлении оси стержень испытывает деформации растяжения, то в направлении осей стержень испытывает деформации сжатия.
Таким образом, для каждого материала существует две упругие постоянные : -модуль упругости и коэффициент Пуассона .
Если обе части формулы (3.3) разделить на , а затем воспользоваться формулами для нормальных напряжений и относительных деформаций, то закона Гука можно записать в виде
| (3.5) |
Из формулы (3.5) следует, что модуль упругости имеет туже размерность, что и напряжение, т.е. .Например, для прокатной стали , .
Читайте также:
Рекомендуемые страницы:
©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-30
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных
Источник
Двумя нормальными сечениями вырежем из стержня (рис. 6.9, а) элемент длиной dz (рис. 6.9, б).
Допустим, что в левом сечении элемента действуют поперечная сила Qv и изгибающий момент Мх. Тогда в правом сечении элемента поперечная сила будет равна Qv +dQy> а момент Мх + dMx. Составим уравнения равновесия элементов:
Пренебрегая dQydz и q(dz^) как величинами второго порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми, найдем:
Знак (-) показывает, что q положительна, если она направлена вверх.
Рис. 6.9. Определение дифференциальных зависимостей между Qv и Мх: а — расчетная схема; б — выделенный элемент
Из (6.3) и (6.4) следует
С помощью этих зависимостей можно проверять правильность построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
Существует следующий порядок построения эпюр.
- 1. Находят значения опорных реакций в местах крепления балок или плит и проверяют правильность их определения.
- 2. Балка делится на грузовые участки. Грузовой участок — это часть балки, в пределах которой характер внешней нагрузки не меняется.
- 3. Используя метод сечений, для каждого грузового участка составляют уравнения, описывающие характер изменения QwM.
- 4. Проводят вычисления значений Q и М в характерных сечениях каждого грузового участка (в начале, на конце, в точках максимума или посредине участка).
- 5. Параллельно оси балки проводят оси эпюр, от которых откладывают в масштабе найденные ординаты значений Q и М в соответствующих сечениях перпендикулярно оси. Значения Q откладывают с учетом знака, а М- со стороны растянутых волокон.
- 6. Вершины соседних значений QwM соединяют линиями, характер которых соответствует уравнениям их изменения на данном грузовом участке. Полученные графики будут являться эпюрами QwM.
- 7. Построенные эпюры должны соответствовать характеру внешней нагрузки и находиться во взаимном соответствии согласно дифференциальным зависимостям.
При построении эпюр используется ряд правил, которые являются следствиями из дифференциальных зависимостей между q, Qv и Мх.
- 1. Для симметричного загружения симметричных балок эпюра М симметрична, а эпюра Q обратно симметрична.
- 2. Выпуклость эпюры изгибающих моментов направлена в сторону, противоположную действию распределенных сил.
- 3. В сечениях, в которых Q обращается в ноль, изгибающий момент М получает экстремальное значение, т.е. шах или min.
- 4. Поперечные силы на концах балки численно равны внешним силам, приложенным на этих концах.
- 5. В тех сечениях, в которых приложена сосредоточенная сила на эпюре Q, имеет место скачок (разрыв непрерывности) на величину соответствующей силы.
- 6. В сечениях балки, в которых приложена сосредоточенная пара сил (момент), на эпюре моментов будет иметь место скачок, равный по величине внешнему моменту.
Пример 6.1. Консольная балка нагружена сосредоточенной силой F на конце (рис. 6.10, а). В месте В защемления балки возникает реактивный момент MR и опорная реакция Rr.
Из уравнения равновесия сил и моментов, действующих на балку,
имеем
Рис. 6.10. К примеру 6.1
Проведем сечение на расстоянии z от точки приложения силы и определим изгибающий момент:
Поперечную силу определим по выражению (6.3):
т.е. поперечная сила постоянна по всей длине балки (рис. 6.10, б).
Пример 6.2. Консольная балка нагружена по всей длине равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q (рис. 6.11, а).
ql2
Реактивный момент в этом случае МR = ——, опорная реакция
2
qz
КА = q • I. Изгибающий момент слева от сечения Мх— ——. Эпюра изгибающих моментов представляет собой параболу второй степени (рис. 6.11, в). Абсолютная величина изгибающего момента имеет наи-
большее значение ql /2 у защемленного конца балки.
Сумма всех сил, лежащих слева от сечения Z, равна
Qy=-qz-
Поперечная сила по длине балки изменяется по закону прямой линии.
Рис. 6.11. К примеру 6.2
Эпюра поперечных сил — наклонная прямая (см. рис. 6.11 ,б).
Источник
Рассмотрим балку, находящуюся под действием системы внешних сил (активных и реактивных) в состоянии равновесия (рис. 43, а).
На каком-либо участке балки — на расстоянии z от начала участка — двумя поперечными сечениями выделим бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 43, б). Действие правой и левой отброшенных частей балки на выделенный элемент заменим поперечными силами и изгибающими моментами, возникающими в соответствующих сечениях стержня. Причем поперечную нагрузку интенсивностью q = q(z направленную параллельно оси у, а также внутренние силовые факторы примем положительными. Так как выделенный элемент бесконечно мал, а в его пределах не приложены внешние сосредоточенные силы и моменты, то значения поперечных сил и изгибающих моментов в рассматриваемых сечениях могут различаться лишь на бесконечно малые величины (см. рис. 43, б).
Рис. 43. Схема изгиба балки: а) расчетная модель; б) элементарная часть балки
Составим и решим уравнения равновесия для выделенного элемента:
отсюда q • dz- dQ или
Таким образом, интенсивность нагрузки равна первой производной от поперечной силы по длине элемента:
После приведения подобных членов и отбрасывания пренебрежимо малого слагаемого q-{dzf!2 приходим к следующему выражению:
Поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по длине элемента. Из полученных зависимостей следует, что
Интенсивность нагрузки равна второй производной от изгибающего момента по длине элемента.
Итак, из выведенных зависимостей можно сделать следующие важные заключения:
- — первая производная от поперечной силы по координате сечения z равна интенсивности распределенной поперечной нагрузки;
- — первая производная от изгибающего момента по координате сечения z равна поперечной силе в соответствующем сечении;
- — интенсивность распределенной поперечной нагрузки равна второй производной от изгибающего момента по координате сечения z.
С учетом геометрического смысла первой и второй производных из представленных зависимостей вытекает ряд важных следствий:
1) если интенсивность нагрузки на участке равна нулю (q(z) = 0), то
т. е. поперечная сила постоянна (эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси эпюры), а изгибающий момент меняется по линейному закону (эпюра М ограничена прямой наклонной линией);
- 2) если q~ const, то зависимость Q от z выразится уравнением первой степени (эпюра Q ограничена прямой наклонной линией), а зависимость М от z ~ уравнением второй степени (эпюра М ограничена параболой);
- (1М
- 3) если Q(z) = 0, то -= 0, следовательно, изгибающий
dz
момент на участке есть величина постоянная (эпюра М ограничена прямой, парал-лельной оси стержня) — имеет место чистый изгиб;
- 4) если поперечная сила на участке имеет положительный знак, то изгибающий момент по длине участка возрастает, и наоборот;
- 5) изгибающий момент достигает экстремального значения (максимума или минимума) в тех сечениях, где поперечная сила обращается в ноль (эпюра Q пересекает ось стержня);
- 6) если в сечении действует сосредоточенная сила, то на эпюре Q в этом сечении происходит «скачок», равный по величине приложенной силе;
- 7) если в сечении приложена сосредоточенная пара сил (момент), эпюра изгибающих моментов в этом сечении имеет «скачок», равный моменту пары сил.
Знание указанных закономерностей и их следствий представляет возможности, во-первых, использовать их для контроля правильности построения эпюр; во-вторых, уменьшать объемы вычислительных и графических действий при построении эпюр Qy и Мх, выбирая наиболее короткий путь в построении эпюр.
При построении эпюр Qy и Мх рекомендуется придерживаться следующей последовательности:
- 1. Определить все реакции опор в балке (для консольной балки опорные реакции можно не определять, но при этом следует начинать построение эпюр только со свободного конца).
- 2. Проверить правильность определения опорных реакций, составив уравнение равновесия Yfy ~ 0 или = 0.
- 3. Разбить балку на участки, при этом границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, пары сил и начинается или заканчивается распределенная нагрузка. Такие сечения принято называть характерными.
- 4. На каждом участке выбирается произвольное сечение и составляются выражения для определения внутренних усилий, с помощью которьгх и строятся эпюры этих ВСФ. Или же внутренние силовые факторы определяются в характерных сечениях.
- 5. По эпюрам внутренних силовых факторов определяют опасные сечения, в которых внутренние усилия достигают наибольших значений. Если эпюра поперечных сил пересекает ось эпюры, значит, на эпюре Мх будет иметь место экстремум в точке, где Qy — 0. Координата этого сечения определяется из условия равенства нулю выражения поперечной силы на этом участке.
- 6. Условимся положительные значения поперечной силы Qy и изгибающего момента Мх откладывать выше оси стержня, а отрицательные значения откладывать ниже оси стержня.
Рассмотрим примеры построения эпюр внутренних силовых факторов Qy и Мх в балках.
Источник
Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки легко установить определенную зависимость. Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой (рисунок 5.10). Определим поперечную силу в произвольном сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии Z.
Проецируя на вертикаль силы, расположенные левее сечения, получаем
Вычисляем поперечную силу в сечении, расположенном на расстоянии z
+
dz
от левой опоры.
Рисунок 5.8.
Вычитая (5.1) из (5.2) получаем dQ
=
qdz
, откуда
то есть производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки
.
Вычислим теперь изгибающий момент в сечении с абсциссой z
, взяв сумму моментов сил, приложенных слева от сечения. Для этого распределенную нагрузку на участке длиной z
заменяем ее равнодействующей, равной qz
и приложенной в середине участка, на расстоянии z/2
от сечения:
(5.3)
Вычитая (5.3) из (5.4), получаем приращение изгибающего момента
Выражение в скобках представляет собой поперечную силу Q
. Тогда . Отсюда получаем формулу
Таким образом, производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной силе (теорема Журавского).
Взяв производную от обеих частей равенства (5.5), получим
т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки. Полученные зависимости будем использовать при проверке правильности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
Построение эпюр при растяжении-сжатии
Пример 1.
Круглая колонна диаметра d
сжимается силой F
. Определить увеличение диаметра , зная модуль упругости Е
и коэффициент Пуассона материала колонны.
Р е ш е н и е.
Продольная деформация по закону Гука равна
Используя закон Пуассона, находим поперечную деформацию
С другой стороны, .
Следовательно, .
Пример 2.
Построить эпюры продольной силы, напряжения и перемещения для ступенчатого бруса.
Р е ш е н и е.
1. Определение опорной реакции. Составляем уравнение равновесия в проекции на ось z
:
откуда R E
= 2qa
.
2. Построение эпюр N z
, , W
.
Э п ю р а N z
. Она строится по формуле
,
Э п ю р а
. Напряжение равно . Как следует из этой формулы, скачки на эпюре будут обусловлены не только скачками N z
, но также резкими изменениями площади поперечных сечений. Определяем значения в характерных точках:
На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними продольными силами.
Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.
Рис.1.
Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.
Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.
Сжимающие напряжения от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех сечений
нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в сечении с абсциссой х, которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой
Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной оси) для этого сечения равно
На Рис.2 изображены эпюры распределения напряжений в рассматриваемом сечении от сил Р, нагрузки q и суммарная эпюра.
Наибольшее напряжение в этом сечении будет в верхних волокнах, где оба вида деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может быть или сжатие или растяжение в зависимости от числовых величин напряжений и. Для составления условия прочности найдем наибольшее нормальное напряжение.
Рис.2.
Так как напряжения от сил Р во всех сечениях одинаковы и равномерно распределены, то опасными будут волокна, наиболее напряженные от изгиба. Такими являются крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них
Таким образом, напряжения в крайних волокнах 1 и 2 среднего сечения балки выражаются формулой
и расчетное напряжение будет равно
Если бы силы Р были растягивающими, то знак первого слагаемого изменился бы, опасными были бы нижние волокна балки.
Обозначая буквой N сжимающую или растягивающую силу, можем написать общую формулу для проверки прочности
Описанный ход расчета применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую.
балка изгиб сила сжатие
Рассчитывать балку на изгиб
можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки
на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.
После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:
Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке
и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.
Для пластичных материалов
(сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала
, а для хрупких
(чугун) – пределу прочности
. Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.
Давайте рассмотрим пару примеров:
1. [i]Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10
(сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.
На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине
, то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:
P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН
М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м
По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.
Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.
б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа
После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.
45.34 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.
2. [i]Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).
Продольно-поперечным изгибом называется сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением бруса.
При расчете на продольно-поперечный изгиб вычисление изгибающих моментов в поперечных сечениях бруса производится с учетом прогибов его оси.
Рассмотрим балку с шарнирно опертыми концами, нагруженною некоторой поперечной нагрузкой и сжимающей силой 5, действующей вдоль оси балки (рис. 8.13, а). Обозначим у прогиб оси балки в поперечном сечении с абсциссой (положительное направление оси у примем вниз, и, следовательно, прогибы балки считаем положительными, когда они направлены вниз). Изгибающий момент М, действующий в этом сечении,
(23.13)
здесь изгибающий момент от действия поперечной нагрузки; — дополнительный изгибающий момент от действия силы
Полный прогиб у можно рассматривать состоящим из прогиба возникающего от действия только поперечной нагрузки, и дополнительного прогиба, равного вызванного силой .
Полный прогиб у больше суммы прогибов, возникающих при раздельном действии поперечной нагрузки и силы S, так как в случае действия на балку только силы S прогибы ее равны нулю. Таким образом, в случае продольно-поперечного изгиба принцип независимости действия сил неприменим.
При действии на балку растягивающей силы S (рис. 8.13, б) изгибающий момент в сечении с абсциссой
(24.13)
Растягивающая сила S приводит к уменьшению прогибов балки, т. е. полные прогибы у в этом случае меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки.
В практике инженерных расчетов под продольно-поперечным изгибом подразумевают обычно случай действия сжимающей силы и поперечной нагрузки.
При жесткой балке, когда дополнительные изгибающие моменты невелики по сравнению с моментом прогибы у мало отличаются от прогибов . В этих случаях можно пренебрегать влиянием силы S на величины изгибающих моментов и величины прогибов балки и производить ее расчет на центральное сжатие (или растяжение) с поперечным изгибом, как изложено в § 2.9.
При балке, жесткость которой невелика, влияние силы S на величины изгибающих моментов и прогибов балки может быть весьма существенным и пренебрегать им при расчете нельзя. В этом случае балку следует рассчитывать на продольно-поперечный изгиб, понимая под этим расчет на совместное действие изгиба и сжатия (или растяжения), выполняемый с учетом влияния осевой нагрузки (силы S) на деформацию изгиба балки.
Рассмотрим методику такого расчета на примере балки, шарнирно опертой по концам, нагруженной поперечными силами, направленными в одну сторону, и сжимающей силой S (рис. 9.13).
Подставим в приближенное дифференциальное уравнение упругой линии (1.13) выражение изгибающего момента М по формуле (23.13):
[знак минус перед правой частью уравнения взят потому, что в отличие от формулы (1.13) здесь положительным для прогибов считается направление вниз], или
Следовательно,
В целях упрощения решения предположим, что дополнительный прогиб изменяется по длине балки по синусоиде, т. е. что
Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты при действии на балку поперечной нагрузки, направленной в одну сторону (например, сверху вниз). Заменим в формуле (25.13) прогиб выражением
Выражение совпадает с формулой Эйлера для критической силы сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами. Поэтому его обозначают и называют эйлеровой силой.
Следовательно,
Следует отличать эйлерову силу от критической силы вычисляемой по формуле Эйлера. Значение можно вычислять по формуле Эйлера лишь при условии, что гибкость стержня больше предельной; значение же подставляют в формулу (26.13) независимо от гибкости балки. В формулу для критической силы, как правило, входит минимальный момент инерции поперечного сечения стержня, а в выражение эйлеровой силы входит момент инерции относительно той из главных осей инерции сечения, которая перпендикулярна плоскости действия поперечной нагрузки.
Из формулы (26.13) следует, что соотношение между полными прогибами балки у и прогибами вызванными Действием только поперечной нагрузки, зависит от отношения (величины сжимающей силы 5 к величине эйлеровой силы).
Таким образом, отношение является критерием жесткости балки при продольно-поперечном изгибе; если это отношение близко к нулю, то жесткость балки велика, а если оно близко к единице, то жесткость балки мала, т. е. балка является гибкой.
В случае, когда , прогиб т. е. при отсутствии силы S прогибы вызываются только действием поперечной нагрузки.
Когда величина сжимающей силы S приближается к значению эйлеровой силы полные прогибы балки резко возрастают и могут во много раз превышать прогибы вызванные действием только поперечной нагрузки. В предельном случае при прогибы у, подсчитанные по формуле (26.13), становятся равными бесконечности.
Следует отметить, что формула (26.13) неприменима при весьма больших прогибах балки, так как она основана на приближенном выражении кривизны Это выражение применимо лишь при малых прогибах, а при больших должно быть заменено тоадым выражением кривизны (65.7). В этом случае прогибы у при не равнялись бы бесконечности, а были бы хотя и весьма большими, но конечными.
При действии на балку растягивающей силы формула (26.13) принимает вид.
Из этой, формулы следует, что полные прогибы у меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки. При растягивающей силе S, численно равной значению эйлеровой силы (т. е. при ), прогибы у вдвое меньше прогибов
Наибольшие и наименьшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки с шарнирно закрепленными концами при продольно-поперечном изгибе и сжимающей силе S равны
Рассмотрим двухопорную балку двутаврового сечения с пролетом Балка нагружена посередине вертикальной силой Р и сжимается осевой силой S = 600 (рис. 10.13). Площадь поперечного сечения балки момент инерции , момент сопротивления и модуль упругости
Поперечные связи, соединяющие эту балку с соседними балками сооружения, исключают возможность потери устойчивости балки в горизонтальной плоскости (т. е. в плоскости наименьшей жесткости).
Изгибающий момент и прогиб посредине балки, подсчитанные без учета влияния силы S, равны:
Эйлерова сила определяется из выражения
Прогиб посередине балки, подсчитанный с учетом влияния силы S на основании формулы (26.13),
Определим наибольшие нормальные (сжимающие) напряжения в среднем поперечном сечении балки по формуле (28.13):
откуда после преобразования
Подставив в выражение (29.13) различные значения Р (в ), получим соответствующие им значения напряжений . Графически зависимость между определяемая выражением (29.13), характеризуется кривой, изображенной на рис. 11.13.
Определим допускаемую нагрузку Р, если для материала балки а необходимый коэффициент запаса прочности следовательно, допускаемое напряжение для материала
Из рис. 11.23 следует, что напряжение возникает в балке при нагрузке а напряжение — при нагрузке
Если в качестве допускаемой принять нагрузку то коэффициент запаса по напряжениям будет равен заданному значению Однако при этом балка будет обладать незначительным коэффициентом запаса по нагрузке, так как напряжения, равные от, возникнут в ней уже при Рот
Следовательно, коэффициент запаса по нагрузке в этом случае будет равен 1,06 (так как е. явно недостаточен.
Для того чтобы балка имела по нагрузке коэффициент запаса, равный 1,5, в качестве допускаемого следует принять значение при этом напряжения в балке будут, как это следует из рис. 11.13, примерно равны
Выше расчет на прочность производился по допускаемым напряжениям. Это обеспечивало необходимый запас прочности не только по напряжениям, но также и по нагрузкам, так как почти во всех случаях, рассмотренных в предыдущих главах, напряжения прямо пропорциональны величинам нагрузок.
При продольно-поперечном изгибе напряжения, как это следует из рис. 11.13, не прямо пропорциональны нагрузке, а изменяются быстрее, чем нагрузка (в случае сжимающей силы S). В связи с этим даже незначительное случайное увеличение нагрузки сверх расчетной может вызвать весьма большое увеличение напряжений и разрушение конструкции. Поэтому расчет сжато-изогнутых стержней на продольно-поперечный изгиб следует производить не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой нагрузке.
Составим по аналогии с формулой (28.13) условие прочности при расчете на продольно-поперечный изгиб по допускаемой нагрузке.
Сжато-изогнутые стержни кроме расчета на продольно-поперечный изгиб необходимо рассчитывать также и на устойчивость.
Источник