Деформации при осевом растяжении

Напряжения и деформации. Коэффициент Пуассона. Закон Гука

Осевое растяжение (рис. 2.1, а) и сжатие (рис. 2.1, б) возникают под действием сил, направленных вдоль оси бруса (стержня). При растяжении (сжатии) в поперечном сечении бруса возникает только одно внутреннее усилие — продольная сила N. На растяжение (сжатие) работают канаты, стержни ферм и т.п. Растяжение (сжатие) могут вызвать сосредоточенные силы и продольная распределенная нагрузка (рис. 2.2). Здесь q — интенсивность продольной распределенной нагрузки, сила, приходящаяся на единицу длины, Н/м, кН/м.

Рис. 2.1. Осевое растяжение (а) и сжатие (б)

Рис. 2.2. Элемент, работающий на растяжение

Изобразим стержень, который подвергается центральному растяжению (рис. 2.3). Для определения внутренних сил применим метод сечений. В произвольном сечении стержня покажем внутренние усилия, которые при данном виде нагружения будут совпадать с направлением нормальных напряжений.

Рис. 2.3. Дефрмации при осевом растяжении (а) и равнодействующая внутренних сил (б): / — исходное состояние; 2 — деформационное состояние

Равнодействующая внутренних усилий будет состоять только из продольной составляющей:

Она будет приложена в центре тяжести сечения стержня, который совпадает с продольной осью.

При расчетах по методу сечений будем всегда продольную силу направлять наружу. Если N > 0, то она направлена верно, а если получается, что jV

Составим уравнение равновесия отсеченной части:

Из гипотезы плоских сечений, высказанной голландским ученым Д. Бернулли, следует, что в пределах действия закона Гука плоские поперечные сечения стержня смещаются при растяжении параллельно начальным положениям, оставаясь плоскими (рис. 2.3, б). Это возможно лишь в случае, если нормальные напряжения во всех точках сечения одинаковы, т.е. О = const. Отсюда следует:

Под действием осевых растягивающих сил стержень постоянного сечения площадью А удлиняется на величину

где /j и /0 — длины стержня в деформированном и начальном состояниях;

А/ — абсолютное или полное удлинение.

Относительное удлинение

При растяжении и сжатии возникает также и поперечная деформация стержня

где и а0 — ширина стержня в деформированном и первоначальном состояниях; А а — абсолютная поперечная деформация.

Относительная поперечная деформация

Знак (-) показывает, что при растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются.

Коэффициент Пуассона. Отношение поперечной деформации к продольной при растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называют коэффициентом Пуассона:

Значение V для всех материалов находится в пределах 0

Закон Гука. Для подавляющего большинства конструкционных материалов с достаточной для практики точностью можно считать, что в известных пределах нагружения между продольной деформацией и соответствующим (действующим в ее направлении) нормальным напряжением существует пропорциональная (линейная) зависимость. Эта зависимость носит название закона Гука и записывается в виде

где Е — коэффициент пропорциональности, именуемый модулем упругости первого рода (модуль Юнга).

По физическому смыслу модуль упругости — напряжение, которое вызывает деформацию ? = 1 (удлинение стержня, равное первоначальной длине).

Для статей по данным экспериментов Е = (2…2,2)105 МПа для ста-

N А/

леи. Учитывая, что О = —, ? = —, закон Гука для растянутого стержня можно записать

где X] =— — коэффициент податливости стержня, показывающий уд-

is • А

линение (укорочение) стержня, вызываемое растягивающей силой F= 1 Н.

Произведение ЕА называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии). Для стержней переменного (ступенчатого) сечения удлинения определяют по участкам (ступеням) и результаты суммируют алгебраически:

где i — номер участка (i = 1, 2,…,«).

При расчете упругих перемещений стержня от нескольких сил часто применяют принцип независимости действия сил: перемещение стержня от действия группы сил может быть получено как сумма перемещений от действия каждой силы в отдельности.

Пример 2.1. Определить полное удлинение стержня (рис. 2.4).

Решение

Рис. 2.4. Определение внутренних сил и построение их эпюры

Определим с помощью метода сечений значения продольной силы на каждом участке. Для этого сделаем три сечения. Рассмотрим равновесие отсеченных частей:

Изобразим графически распределение продольных сил по длине стержня. График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Каждая ордината эпюры равна значению N в данном сечении. Эпюру строят на линии, проведенной параллельно оси стержня. Подставив найденные значения N, N2, N3 в формулу, определим общее удлинение стержня

Пример 2.2. Определить величину напряжения О. возникающего в поперечном сечении, абсолютное удлинение Д/ и относительное укорочение ? стального стержня диаметром d = 40 мм, длиной / = 1,5 м, растягиваемого силой F = 100 кН, если Е = 2,1 • 105 Н/мм2 (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К примеру 2.2

Решение

Площадь сечения
Напряжение

Абсолютное удлинение
Относительное удлинение

Пример 2.3. Стальная штанга длиной / = 8 м и площадью сечения А = 8 см2 под действием растягивающей нагрузки получила абсолютное удлинение А/ = 5,7 мм. Определить величину нагрузки F и напряжения G, если известно, что модуль упругости материала тяги Е = 2,МО5 МПа (рис. 2.6).

Решение

Относительное удлинение
Величина напряжения

Величина нагрузки

Рис. 2.6. К примеру 2.3

Источник

Рассмотрим
деформации стержня при осевом растяжении
и сжатии. Экспериментальные исследования
показали, что при растяжении для
большинства материалов длина стержня
увеличивается, а поперечные размеры
уменьшаются (Рис.3.4). При сжатии длина
стержня уменьшается, а поперечные
размеры увеличиваются.

Деформации при осевом растяжении

Рис
3.4

Величина
,
на которую стержень увеличивает свою
длину при осевом растяжении, называетсяабсолютной
продольной деформацией.
Величины
и,
на которые стержень уменьшает поперечные
размеры при осевом растяжении, называетсяабсолютной
поперечной деформацией.
Если отнести асолютную деформацию к
первоначальным размерам стержня, то
получим относительные деформации:

;

(3.4)

Здесь:
относительная
продольная деформация;относительная
поперечная деформация.

Модуль
их отношения получил название коэффициента
относительной продольной деформации
или коэффициента Пуассона по имени
известного французского ученого Симеона
Дени Пуассона, математика, механика и
физика, одного из основоположников
математической физики, который исследовал
деформации при осевом растяжении и
сжатии и предложил выражение для этого
коэфициента в следующем виде:

(3.5)

Отношение
(3.5) всегда берется по абсолютной
величине, так как знаки относительной
поперечной деформации
и относительной продольной деформациивсегда полярны.

Пуассон
считал, что для всех материалов коэффициент
относительной поперечной деформации
одинаков и равен 0,25. Дальнейшие
исследования показали, что это не так:
коэффициент Пуассона имеет различную
величину для разных материалов и меняется
в пределах:
.
Для пробки коэффициент Пуассона,
для резины.
Для стали.
Коэффициент Пуассона характеризует
упругие свойства материала.

Между
напряжениями и деформациями существует
линейная зависимость, получившая
название закона Гука:

(3.6)

Известный
английский ученый-энциклопедист, член
Лондонского королевского общества
Роберт Гук, выполняя эксперименты с
растяжением различных матералов, первым
заметил линейную зависимость между
деформацией стержня и величиной усилия
в нем. Свое открытие он сфоромулировал
следующим образом: Ut
tensio sic vis.
В переводе с латинского это означает:
каково
удлинение, такова и сила.

В
современной трактовке закон Гука
формулируется таким образом: в
пределах упругости напряжения прямо
пропорциональны деформациям.

В
выражении (3.6) коэффициент пропорциональности
представляетмодуль
упругости первого рода
или модуль
Юнга,
названный так в честь английского
ученого Томаса Юнга, который занимался
исследованиями, связанными с растяжением
стержней из разных материалов и ввел
понятие модуля упругости. Практические
результаты исследований Юнга нашли
продолжение в работах его последователей,
в результате чего был получен набор
модулей упругости для различных
материалов. Для стали модуль Юнга равен
МПа.

Подставляя
в формулу (3.6) напряжения (3.3) и выражение
для относительной продольной деформации
из (3.4), получим величину абсолютной
деформации стержня, нагруженного
растягивающей силой
:

,
(3.7)

где

внутренне усилие в стержне;

жесткость поперечного сечения стержня
при растяжении или сжатии.

Рассмотрим
определение перемещений сечений при
осевом растяжении и сжатии на примере
стержня, изображенного на рис 3.3,а.

Пример
3.3.
Определить перемещения “характерных”
сечений для стержня, приведенного на
рис.3.3,а. Площадь поперечного сечения
стержня на всех участках
см2.
Длины участков приведены на рисунке.
Материал стержня – сталь с модулем
упругости
МПа.
Построить эпюру продольных перемещений
поперечных сечений стержня. Собственный
вес стержня не учитывать.

Решение:

1.
“Характерными”
будут сечения на стыке участков. Обозначим
их соответственно буквами А, В, С и D.
Начинать строить эпюру перемещений
сечений будем от того сечения, перемещение
которого заранее известно. Таким сечением
является сечение А. Перемещение этого
сечения
.

2.
Определим перемещение сечения В.
Перемещение этого сечения произойдет
за счет деформации участка №3. При
определении перемещений воспользуемся
численными значениями продольных усилий
на участках, найденных в примере 3.1.
Получим:

м.

3. Перемещение
сечения С произойдет за счет деформации
участков №3 и №2:

м.

4.
Перемещение сечения D
произойдет за счет деформации всего
стержня, т.е.:

м.

5.
Откладываем полученные перемещения
сечений от базисной линии и строим
диаграмму продольных перемещений
поперечных сечений (Рис.3.3,г). При
отсутствии влияния собственного веса
стержня на перемещения сечений зависимость
перемещений от продольной координаты
будет линейной. Поэтому соединяем точки
на диаграмме преремещений прямыми
линиями.

Из
диаграммы продольных перемещений
поперечных сечений можно определить
продольную деформацию каждого из
участков
,

и
(Рис.3.3,
г).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Как отмечалось ранее, в поперечном сечении бруса, под действием внешних сил возникают внутренние силовые факторы. В зависимости от того, какие силовые факторы имеют место в данном сечении бруса, определяется вид нагружения: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение, изгиб или сложное сопротивление.

Растяжение (сжатие) – вид нагружения бруса, при котором в его продольном сечении возникает только продольная сила N, а остальные силовые факторы отсутствуют. При растяжении на брус действуют силы, приложенные к его торцам, равные по величине и противоположные по направлению (от сечения). При действии тех же сил в направлении к сечению возникает сжатие. Поскольку при растяжении длина бруса удлиняется, а при сжатии укорачивается, то его укорочение можно рассматривать как отрицательное удлинение.

Растягивающая сила вызывает абсолютное удлинение бруса на величину Dl и и уменьшение его поперечных размеров, сжимающая сила наоборот вызывает уменьшение длины и увеличение поперечного размера. Абсолютное удлинение или укорочение, измеренное в единицах длины (м), не дает общего представления о значительности продольной деформации. Поэтому за характеристику деформации растяжения и сжатия принимают относительное удлинение (линейная деформация) ε=Dl/l, где l – первоначальная длина. Величина ε получается в результате деления двух величин, имеющих одинаковую размерность, а следовательно сама не имеет размерности и является отвлеченным числом. Величина ε может быть выражена в %.

Для решения практических задач сопротивления материалов, важно установить взаимную связь, между линейными перемещениями, и вызвавшими их силами.

Закон Гука, устанавливает связь между нагрузкой, размерными характеристиками бруса и свойством материала из которого он изготовлен. Абсолютное удлинение (укорочение) прямо пропорционально величине силы и длине бруса и обратно пропорционально модулю продольной упругости и площади поперечного сечения.

Разделим обе части выражения на длину бруса l, получим:

Ввиду того, что сила направлена к сечению под углом 90º, можно утверждать, что полное напряжение будет иметь только нормальную составляющую. Тогда σ=р, или σ=F/S, откуда можно записать другое математическое выражение закона Гука:

т.е. нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Выразив Е через σ и ε, получим:

т.е. модуль продольной упругости представляет собой отношение нормального напряжения к соответствующему ему относительному удлинению (укорочению). Величина ε – отвлеченное число, следовательно размерность модуля упругости выражается в н/м2, или кГ/см2. Величина его определяется опытным путем. Приведем примеры для некоторых материалов.

Наименование материала	Модуль упругости Е
Мн/м2	кГ/см2
Сталь	2105 – 2,2105	2106 – 2,2106
Алюминий	0,675*105	0,675*106
Чугун	0,75105 – 1,6105	0,75106 – 1,6106
Дерево вдоль волокон	1*104	1*105
Дерево поперек волокон	5*102	5*103

Закон Гука можно выразить графически. Для этого по оси Х отложим в некотором масштабе величину относительной деформации ε, а по оси Y – соответствующее ей напряжение. Тогда tgα=σ/ε, но имея выражение Е=σ/ε, получим tgα=Е. Однако закон Гука действует только до предельного значения напряжения (предела пропорциональности), а далее зависимость становиться нелинейной.

Как уже отмечалось, при растяжении (сжатии) наблюдается не только осевая деформация, но и поперечная. Опытным путем установлено, что поперечные деформации при растяжении и сжатии прямо пропорциональны продольным деформациям. По аналогии с продольной деформацией введем понятие относительной поперечной деформации.

Тогда, частное от деления относительной поперечной деформации на относительную продольную деформацию при осевом растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона и обозначается μ:

Установлено, что величина μ постоянна лишь в пределах закона Гука. Приведем несколько значений коэффициента Пуассона:

Материал	μ
Сталь	0,25-0,33
Чугун	0,23-0,27
Алюминий	0,26-0,36
Бетон	0,08-0,18
Каучук	0,47

Источник

Осевое или центральное растяжение (сжатие) относят к простым видам сопротивления. Название этого вида деформации обусловлено тем, что линия действия сил (равнодействующей сил), приложенных к стержню, совпадает с осью стержня (ось стержня проходит через центры тяжести поперечных сечений).

Продольное внутреннее усилие (N) будет положительным при растяжении элемента и отрицательным в случае сжатия.

Продольное внутреннее усилие (N) в любом сечении равно алгебраической сумме проекций всех внешних сил (включая опорные реакции), взятых по одну сторону от сечения, на продольную ось стержня.

Напряжения в поперечных сечениях характеризуют интенсивность внутренних сил в поперечном сечении.

Соотношение (6.1) позволяет вычислить среднее напряжение по площади поперечного сечения. Бернулли были предложены допущения – гипотезы плоских сечений: поперечные сечения, плоские до нагружения остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси и после нагружения. В силу принятых гипотез σy=σz=τyx=τyz=0, σx≠0, поэтому напряженное состояние в элементе объёма – линейное (только одно из главных напряжений отлично от нуля), рис. 6.1. Нормальное напряжение в поперечном сечении при данном виде деформации является функцией от продольного внутреннего усилия Nx и зависит от геометрической характеристики поперечного сечения – площади А. Определяют напряжение по формуле

σ=σx=Nx/A. (6.2)

Знак у напряжения определяется знаком продольной силы.

Рис. 6.1. Схема деформации элементарного параллелепипеда при одноосном растяжении

При растяжении (сжатии) различают абсолютные ∆l и относительные ε деформации. Абсолютная деформация – это разница между длиной стержня до и после деформации, т.е. та величина, на которую он изменил свою длину ∆l=/l1-l/. Относительная деформация – это, как ясно из названия, отношение абсолютной деформации к первоначальной длине стержня ε=∆l/l.

Деформации элементов конструкций, материал которых работает в упругой стадии, определяются на основании закона Гука, записанного в случае одноосного(линейного) напряжённого состояния в следующем виде:

(6.3)

Закон Гука (6.3) устанавливает прямопропорциональную зависимость между действующим в рассматриваемой точке нормальным напряжением и относительной линейной деформацией материала (по направлению ). Коэффициент пропорциональности Е носит название модуля упругости первого рода (модуля продольной упругости, модуля Юнга) и имеет размерность напряжения.

При одноосном растяжении (сжатии) кроме продольной деформации возникают также деформации и в поперечных направлениях, противоположные по знаку деформации (рис. 6.1). Отношение деформации к или к , взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона (коэффициентом поперечной деформации) ν.

Для изотропных материалов

(6.4)

Коэффициент Пуассона для различных материалов может принимать значения от 0 до 0,5 (для стали обычно = 0,24… …0,33, для алюминиевого сплава – 0,3).

Модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона являются основными характеристиками упругих свойств материала. Они определяются экспериментальным путем. Наиболее просто в техническом отношении осуществляется опыт, в котором Е и определяются по результатам испытания образца на осевое растяжение.

Перемещения сечений происходят в результате деформирования стержня. Перемещения, соответствующие удлинению считаются положительными. Перемещения, вызванные внешними силовыми факторами, определяют с помощью зависимости (6.5).

. (6.5)

В случае, когда в пределах грузового участка внутреннее усилие и жёсткость стержня постоянны, это выражение принимает вид

Перемещения, вызванные изменением температуры, определяются с помощью зависимости

Расчет на прочность и жесткость при осевом растяжении (сжатии).

Для расчета на прочность пользуются условием прочности, которое при данном виде сопротивления имеет вид:

(6.8)

В этих выражениях , , — расчетные сопротивления по нормальным напряжениям для хрупкого и пластичного материала соответственно. Максимальное значение напряжения определяют с помощью эпюры напряжений, полученной через отношения Nx/A.

В расчете на жесткость применяют условия жесткости:

. (6.9)

Первое условие для полного перемещения стержня, а второе — для максимального перемещения сечения. В квадратных скобках приведены допустимые значения. Для определения опасного сечения, в котором возникает, строят эпюру перемещений.

Пример построения эпюр.

Источник