Что такое одноосное растяжение

Возьмём однородный стержень (рис.1.12) и приложим к его основаниям растягивающие (или сжимающие) усилия.

Пусть lo — длина недеформированного стрежня, а S — его сечение. После приложения силы F его длина получает приращение Dl и делается равной l = l o + Dl. Отношение

, (1.68)

называется относительным удлинением стержня. В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил – отрицательно.

Рис.1.12

В любом поперечном сечении деформированного стержня возникнут нормальные упругие напряжения, численно равные упругой силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения тела, т.е.

. (1.69)

Закон Гука для деформации растяжения (сжатия) имеет вид

, (1.70) где Е — модуль Юнга.

Модуль Юнга зависит только от материала стержня и его физического состояния. При D l = l – l0 = l0 и ε = 1 Е = σn. Поэтому, модуль Юнга равен тому нормальному напряжению, которое возникло бы в образце при увеличении его длины в 2 раза, если бы при такой деформации выполнялся закон Гука. Однако при таких больших деформациях закон Гука не выполняется и образец либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и силой.

Под действием растягивающей или сжимающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры

стержня. Характеристикой этого изменения является относи- тельное поперечное сжатие (растяжение)

, (1.71)

где d — поперечный размер образца.

При растяжении e < 0, при сжатии e >0. Отношение

, (1.72)

называется коэффициентом Пуассона.

Для больших изотропных материалов он близок к 0,25. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона m полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и m.

Деформированное тело обладает запасом потенциальной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе, затраченной на деформацию тела,

. (1.73)

Объемная плотность упругой энергии W, т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема растянутого (сжатого) стержня, равна

. (1.74)

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, смещаются параллельно друг другу (рис.1.13,а). Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД параллельная ВС, закреплена неподвижно (рис.1.13,б). При малом сдвиге:

, (1.75)

где D х = СС’ — абсолютный сдвиг, а g — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом.

Закон Гука для деформации сдвигаимеет вид

, (1.76)

где =F/S– скалывающее или тангенциальное напряжение, G — модуль сдвига.

а) б)

Модуль сдвига численно равен касательному напряже- нию, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице, если бы в этом случае выполнялся закон Гука.

Между модулем сдвига, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона существует cоотношение

. (1.77)

Объемная плотность энергии упругой деформации при сдвиге, как и при растяжении, прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна модулю упругости:

. (1.78)

Лекции

Одноосное растяжение-сжатие, изгиб цилиндрических стержней. Понятие о статической неустойчивости стержня. Уравнения равновесия идеально гибких канатов (нитей).

Рассмотрим геометрически самый простой элемент конструкций – цилиндрический стержень (рис.1), который находится в состоянии одноосного растяжения-сжатия. Ось направлена вдоль оси стержня.

Рис.1 Одноосное напряженое состояние стержня. На выделенный сечениями и элемент действуют силы внутренних напряжений и , где площадь сечения. На боковой поверхности силы не действуют, поэтому вектор напряжений равен нулю.

Если считать, что на стержень действуют массовые силы с плотностью , направленные вдоль оси стержня, то уравнение движения выделенного элемента можно получить записав уравнение равновесия с учетом массовых сил и сил инерции

,

которое после деления на приводит к дифференциальному уравнению движения цилиндрического стержня

, (1)

где напряжение, площадь сечения стержня, перемещения сечений стержня. Для статических задач равновесия уравнение (1) становится уравнением равновесия

(2)

позволяет определить распределение напряжений вдоль оси стержня.

Для динамических задач уравнение (1) замыкается выражеием для деформации и законом Гука

(3)

В случае цилиндрических стержней уравнение (2) является «точным», поскольку граничные условия на боковой поверхности (вектор напряжений равен нулю) выполнены. В случае переменного сечения уравнение (2) является приближенным, поскольку граничные условия на боковой поверхности уже не выполнены точно и для таких стержней использование уравнения (2) возможно только для случая , где средний радиус сечения.

Рассмотрим работу, которая затрачивается при при одноосном растяжении стержня. Будем увеличивать действующую силу квазистатически от нуля до конечного значения малыми приращениями , считая что в каждый рассматриваемый момент стержень находится в равновесии. Тогда на каждом шаге мы можем посчитать работу для стержня длины

.

Тогда вся затраченная работа будет представлена интегралом

Эта работа перешла в упругую энергию деформированного стержня. Если подсчитать сколько энергии запасено в единице объема тела получим следующее выражение для объемной плотности упругой энергии

. (4)

Чистый изгиб начально прямолинейного стержня.

Рассмотрим задачу чистого изгиба прямолинейного стержня круглого сечения заданными моментами (рис.2). Пусть в результате изгиба осевая линия стержня не меняет своей длины и описывается плоской параметрически, заданной кривой

Будем считать, что сечения стержня нормальные к его осевой линии и после деформации остались нормальными к изогнутой оси.

Рис.2 Изгиб стержня круглого сечения моментом М.

Введем единичные векторы касательной и нормали к осевой линии

(5)

В приведенных выражениях: единичный вектор касательный к осевой линии; единичный вектор нормали; радиус кривизны кривой; кривизна кривой.

В силу принятых нами гипотез материальное волокно осевой линии АВ, имевшее в недеформированном состоянии координату (рис.2(b)), не меняет своей длины. В силу гипотезы нормальных сечений точка, имевшая в недеформированном состоянии координаты , после деформации останется в плоскости нормальной к осевой линии, т. е. ее новое положение определяется радиусом вектором

Тогда длина материального волокна, имевшего до деформации координату и после деформации изменится и станет (рис.2(b)).

Таким деформация волокна будет иметь следующую величину

. (6)

Соответствующие деформациям (6) напряжения растяжения – сжатия будут равны:

(7)

Для рассматриваемого круглого сечения (сечение – множество: ) можно подсчитать главный вектор сил и главный момент:

(8)

где геометрический момент инерции сечения стержня относительно оси, проходящей через осевую линию стержня паралллельно оси .

Поскольку главный вектор сил равен нулю, уравнения равновесия выделенного элемента (рис.2(а)) сводятся к равенству моментов:

Откуда следует, что

(9)

Таким образом изогнутое состояние стержня моментом является дугой окружности радиуса

. (10)

Для каждого бесконечно малого элемента (рис.2(а)) стержня можно ввести локальную систему кординат так, что начало системы координат расположено в точке с координатами , а орты осей соответственно равны .

В данной системе координат малы не только деформации, но и перемещения. Тогда можно считать, что . Матрица напряжений удовлетворяет уравнениям равновесия при отсутствии массовых сил и граничным условиям равенства нулю вектора напряжений на свободной поверхности

Таким образом можно считать, что в рамках малых деформаций рассмотренное решение является точным.

Посмотрим, что изменится в полученном решении, если в качестве сечения рассмотреть произвольную плоскую фигуру, симметричную относительно плоскости (см. рис.3.):

фигура представленная на рис.3(а) – прямоугольник со сторонами

фигура представленная на рис.3(b) – многоугольник составленный из трех прямоугольников, два из которых равны. Стороны прямоугольников соответственно равны

Для того, чтобы выполнялись условия равенства нулю главного вектора сил (первое из условий (8)) необходимо, чтобы осевая линия стержня совпадала с

геометрическим центром тяжести фигуры.

Рис.3 Примеры форм геометрии сечений стержня.

При определениий положения центра тяжести фигур полезно вспомнить некоторые приемы, облегчающие эту процедуру.

Например для треугольника центр тяжести совпадает с точкой пересечения его медиан.

Геометрический центр тяжести сложной фигуры, составленной из фигур более простой формы, совпадает с центром тяжести системы точек, совпадающих с центрами тяжести отдельных фигур и массами равными площадям соответствующих фигур. Для прямоугольника (рис.3(а)) центр тяжести – центр его симметрии. Для фигуры, представленной на рис.3(b), центр тяжести находится по простой схеме: