Центральное растяжение и сжатие примеры решения

Растяжение  (сжатие) – это такой   вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.

Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.

Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения,  на продольную ось бруса.

Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.

Нормальные напряжения в сечении при  растяжении (сжатии) вычисляются по формуле

где А – площадь поперечного сечения.

Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.

В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,

При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.

Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом

ε=Δℓ/ℓ.

Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)

σ=εЕ,

где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:

сталь, Е = 2.105 МПа,

медь, Е = 1.105 МПа,

алюминий, Е = 0,7.105 МПа.

Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)

Δℓ=Νℓ/ЕА

Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.

Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня

w=∑Δℓi

Относительная поперечная деформация:

ε′=Δb/b

где b – поперечный размер стержня.

Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь

μ  =│ε′⁄ε│ — const,

где   μ —  коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).

Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона

0≤μ ≤0,5

Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)

где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).

Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.

Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.

В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.

Алгоритм решения подобных задач включает следующее:

1)   Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.

2)    Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.

3)   Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.

Порядок расчета статически неопределимых брусьев

1.  Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение      статики для всей системы в целом.
2. Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
3. Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
4. В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.

Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем

1. Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
2. Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
3. Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
4. В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .

Правило знаков
Растягивающие продольные усилия принято считать положительными, а сжимающие — отрицательными.

Рассмотрим прямолинейный брус (стержень), нагруженный силой F

Определим внутренние усилия в поперечных сечениях стержня методом сечения.

Напряжение — это внутренне усилие N, приходящее на единицу площади A. Формула для нормальных напряжений σ при растяжении
$$sigma = frac{N}{A} $$

Так как поперечная сила при центральном растяжении-сжатии равна нулю, то и касательное напряжение [math]tau=0[/math].

Условие прочности при растяжении-сжатии
$$ max; sigma = {Biggvertfrac{N}{A}Biggvert} leq [sigma] $$

Дифференциальная зависимость внутренних усилий от распределенной нагрузки:

dN =q·dx

Определение внутренних усилий и напряжений

Рассмотрим вариант определения внутренних сил под действием произвольных сосредоточенных и распределенных сил, направленных вдоль стержня.

Продольное усилие N равняется сумме сил (сосредоточенных Fi и распределенных qi), расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Общая формула для определения продольного усилия в произвольном сечении
$$N(x)=sum F _i + sum int q _i(x)cdot dx $$

Примем, что распределенная нагрузка постоянная. Тогда можно записать
$$N(x)=sum F _i + sum t q _i(x)cdot(x-L _{q _{i}н}) – sum t q _i(x)cdot(x-L _{q _{i}k}),$$
где Lqiн и Lqiк – расстояние от начала координат до начала и конца распределенной силы qi

Для эпюр продольных сил характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

• Эпюры N всегда прямолинейные.
• На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра N — прямая, параллельная оси; а на участке под распределенной нагрузкой — наклонная прямая.
• Под точкой приложения внешней сосредоточенной силы на эпюре обязательно должен быть скачок (разрыв первого рода) на величину этой силы.

Правильность построения эпюры обеспечивается также надлежащим выбором так называемых характерных сечений, то есть тех сечений, в которых величина внутренней силы обязательно должна быть определена. К характерным сечениям относятся:

• сечения, расположенные бесконечно близко по обе стороны от точек приложения сосредоточенных сил и моментов;
• сечения, расположенные в начале и в конце каждого участка с распределенной нагрузкой;
• сечения, расположенные бесконечно близко к опорам, а также на свободных концах.

Пример определения продольных усилий

Пусть стержень длиной L=15 нагружен двумя сосредоточенными растягивающими силами F1=7 в точке FL1=14 и F2=2 в точке FL2=6. Стержень загружен сжимающей распределенной силой q=-1.2, приложенной от начала стержня до Lq1=12. Нужно построить эпюру продольных усилий.

Для определения усилий воспользуемся пакетом SciLab ( см. также здесь).

Создадим две маленькие функции и запишем их в файл n_calc.sce

function [N]=Nx_calc(x,q,F)
// определение суммы всех сил справа от сечения x
Fsum=0;
r=size(F,’r’);
for i=1:r
Fsum=Fsum+F(i,2)*(x<F(i,1));
end;
q_sum=0;
r=size(q,’r’);
for i=1:r
q_sum=q_sum+q(i,3)*(x-q(i,1))*(x<q(i,1))-q(i,3)*(x-q(i,2))*(x<q(i,2));
end;
N=Fsum+q_sum;
endfunction
//—-
function [x,y]=N_calc(q,F,L,step)
// формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
x=[0:step:L,F(:,1)’] // знак ‘ — транспонирование матрицы
x=gsort(x,’g’,’i’);
y=[];
for i=1:length(x)
y(i)=Nx_calc(x(i),q,F);
end
endfunction

Задаем начальные условия и строим эпюру продольных сил

// подключение нашей функции
exec(‘n_calc.sce’)
// распределенная нагрузка [начало,конец, интенсивность нагрузки]
q=[0, 12, -1.2];
// сосредоточенная нагрузка [точка приложения, значение силы]
F=[14, 4; 6, 2];
// Длина
L=15;
// шаг задаем очень маленьким
step=0.1;
// вычисление
[x,y]=N_calc(q,F,L,step);
// построение эпюры
plot2d(x,y)
plot2d3(x,y)
xgrid(3);

С помощью функции Nx_calc можно определить усилие N в любом сечении x.

Так как Scilab, GNU Octave и MATLAB имеют очень близкие языки, то для решения этой задачи в этих пакетах можно воспользоваться выше приведенным алгоритмом.

2й вариант

Приведем еще один вариант определения продольных усилий при центральном растяжении-сжатии с помощью языка программирования R.

# Центральное растяжение-сжатие
#
# определение суммы всех сил справа от сечения Xi
Nx_calc <- function (Xi,q,aF) {
Nsum <- function(Fx, x) {N<-Fx[2]*(x<=Fx[1]);}
Fsum<-sum(apply(aF,1, Nsum, x=Xi));
q_sum <- function(qx,x) {N<-qx[3]*(x-qx[1])*(x<=qx[1])-qx[3]*(x-qx[2])*(x<=qx[2]); }
qsum<-sum(apply(q,1, q_sum, x=Xi));
N<-Fsum+qsum;
}
 
 
# формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
# и отображение эпюры
N_calc <- function (q,F,L,step) {
#превращаем вектор в матрицу
Fi<-matrix(F,ncol=2,byrow=TRUE);
dimnames(Fi)[[2]] <- c(‘x’,’F’);
#проверяем результат
print(Fi);
qi<-matrix(q,ncol=3,byrow=TRUE);
dimnames(qi)[[2]] <- c(‘Ln’,’Lk’,’q’);
print(qi);
 
x<- c(seq(from=0, to=L, by=step),Fi[,1]);
 
x<-sort(x);
y<- sapply(x,Nx_calc, q=qi, aF=Fi);
# рисуем
plot(x,y,type=»h»,ylab=»Усилие», col=»blue»,main=»Эпюра усилий N»);
lines(x,y);
abline(h=0);
# добавим точки, где приложены силы
xf<-Fi[,1];
yf<- sapply(xf,Nx_calc, q=qi, aF=Fi);
points(xf,yf);
text(xf,yf,yf,adj=1,pos=4);
}
 
# формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
# и отображение эпюры (Усовершенствованный вариант №2)
N_calc2 <- function (q,F,L) {
#превращаем вектор в матрицу
Fi<-matrix(F,ncol=2,byrow=TRUE);
dimnames(Fi)[[2]] <- c(‘x’,’F’);
#проверяем результат
print(‘Сосредоточенные силы Fi’);print(Fi);
qi<-matrix(q,ncol=3,byrow=TRUE);
dimnames(qi)[[2]] <- c(‘Ln’,’Lk’,’q’);
print(‘Распределенные нагрузки’);print(qi);
 
z<-Fi[,1];
x1<-numeric();
eps=L/1000; # малая величина
for ( i in 1:length(z) ) {
x1<-c(x1,z[i]-eps,z[i],z[i]+eps)
}
x<- c(0,L,qi[,1],qi[,2],x1);
x<-sort(x);
y<- sapply(x,Nx_calc, q=qi, aF=Fi);
# рисуем
plot(x,y,type=»l»,ylab=»Усилие», main=»Эпюра усилий N», sub=’вариант №2′ );
abline(h=0);
polygon(c(x,L,0),c(y,0,0),col=’gray’)
# добавим точки, где приложены силы
xf<-Fi[,1];
yf<- sapply(xf,Nx_calc, q=qi, aF=Fi);
points(xf,yf);
text(xf,yf,yf,adj=1,pos=4);
# Определяем максимальное сжимающее и растягивающее усилие
y_max<-max(y);
y_min<-min(y);
if ( y_max > 0 ) {
x_max= x[which.max(y)];
print(sprintf(«Максимальное растягивающее значение N=%f при x=%f»,y_max,x_max ) );
points(x_max,y_max, col=»red»);
text(x_max,y_max,y_max,col=’blue’,pos=4);
}
if ( y_min < 0 ) {
x_min= x[which.min(y)];
print(sprintf(«Максимальное сжимающее значение N=%f при x=%f»,y_min,x[which.min(y)] ) );
points(x_min,y_min, col=»red»);
text(x_min,y_min,y_min,col=’blue’,adj=1,pos=4);
}
}

Исходный код функций

Ниже приведен сеанс построения эпюры N в R

> source(«N_calc.r», echo=TRUE);
 
> # Центральное растяжение-сжатие
> #
> # определение суммы всех сил справа от сечения Xi
> Nx_calc <- function (Xi,q,aF) {
+ Nsum <- function(Fx, …. [TRUNCATED]
 
> # формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
> # и отображение эпюры
> #
> N_calc <- function (q,F,L,step) {
+ #превращаем вектор в матри …. [TRUNCATED]
 
> # формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
> # и отображение эпюры (Усовершенствованный вариант №2)
> N_calc2 <- function (q,F,L) {
+ # …. [TRUNCATED]
>
> L=15; # Длина
> step=0.1; # шаг задаем очень маленьким
> # распределенная нагрузка [начало,конец, интенсивность нагрузки]
> q<-c(0, 12, -1.2);
> # сосредоточенная нагрузка. Порядок заполнения [точка приложения, значение силы] …
> F=c(14, 4, 6, 2);
> N_calc2(q,F,L)
[1] «Сосредоточенные силы Fi»
x F
[1,] 14 4
[2,] 6 2
[1] «Распределенные нагрузки»
Ln Lk q
[1,] 0 12 -1.2
[1] «Максимальное растягивающее значение N=4.000000 при x=12.000000»
[1] «Максимальное сжимающее значение N=-8.400000 при x=0.000000»
>

В результате на экране отобразится следующая эпюра:
Здесь сразу определены опасные сечения.
Так же, как и в предыдущем варианте, с помощью функции Nx_calc можно определить усилие N в любом сечении x.

Дополнительно

Пример из пособия МИИТ Эпюра продольных сил при центральном растяжении-сжатии (формат pdf).

—

Связанные статьи

• Найти внутренние усилия и построить их эпюры для стержня
• Закон Гука

метки: scilab,
внутренние усилия,
определение усилий: примеры,
растяжение-сжатие,
язык r